\(a\) を正の実数, \(k\) を自然数とし, \(x \gt 0\) で定義される関数 \[ f(x) = \displaystyle\int _ a^{ax} \dfrac{k +\sqrt[k]{u}}{ku} \, du \ . \] を考える. このとき以下の各問いに答えよ.
(1) \(f(x)\) の増減および凹凸を調べ, \(y = f(x)\) のグラフの概形をかけ.
(2) \(S\) を正の実数とするとき, \(f(p) = S\) を満たす実数 \(p\) がただ \(1\) つ存在することを示せ.
(3) \(b = \dfrac{k}{k +\sqrt[k]{a}}\) とおくとき, (2) の \(S , p\) について, 次の不等式が成立することを示せ. \[ 1 +bS \lt p \lt e^{bS} \]
【 解 答 】
(1)
\(F(u) = \displaystyle\int \dfrac{k +\sqrt[k]{u}}{ku} \, du\) とおけば
\[\begin{align}
F(u) & = \displaystyle\int \left( \dfrac{1}{u} +\dfrac{u^{\frac{1}{k} -1}}{k} \right) \, du \\
& = \log u +\sqrt[k]{u} +C \quad ( \ C : \text{積分定数} \ ) \ .
\end{align}\]
なので
\[\begin{align}
f(x) & = F(ax) -F(a) \\
& = \log ax +\sqrt[k]{ax} -\log a -\sqrt[k]{a} \\
& = \log x +\sqrt[k]{a} \left( \sqrt[k]{x} -1 \right) \ .
\end{align}\]
これを順次微分すると
\[\begin{align}
f'(x) & = \dfrac{1}{x} +\sqrt[k]{a} \cdot \dfrac{\sqrt[k]{x}}{kx} \\
& = \dfrac{k +\sqrt[k]{ax}}{kx} \gt 0 , \\
f''(x) & = -\dfrac{1}{x^2} -\dfrac{\sqrt[k]{a}}{k} \cdot \dfrac{k-1}{k} x^{\frac{1}{k} -2} \\
& = -\dfrac{1}{x^2} -\dfrac{(k-1) \sqrt[k]{ax}}{k^2 x^2} \lt 0 \ .
\end{align}\]
したがって, \(f(x)\) は \(x \gt 0\) において, 単調増加であり, 上に凸である.
さらに
\[
f(1) = 0 , \
\displaystyle\lim _
{x \rightarrow +0} f(x) = -\infty , \ \displaystyle\lim _ {x \rightarrow +\infty} f(x) = \infty \ .
\]
であることに注意すれば, \(y = f(x)\) のグラフは下図のようになる.
(2)
(1) の結果より, \(y = f(x)\) のグラフと, 直線 \(y = S\) はただ \(1\) つの共有点をもつ.
よって, 題意は示された.
(3)
(2) の結果より \[ p \gt 1 \quad ... [1] \ . \]
\(1 +bS \lt p\) の証明
\(f(1) = 0\) , \(\dfrac{1}{b} = \dfrac{k +\sqrt[k]{a}}{k} = f'(1)\) であることに用いる.
\(f(x)\) は上に凸であるから \[\begin{align} \dfrac{f(p) -f(1)}{p-1} & \lt f'(1) \\ \dfrac{S}{p-1} & \lt \dfrac{1}{b} \\ \text{∴} \quad 1 +bS & \lt p \ . \end{align}\]\(p \lt e^{bS}\) の証明
\[\begin{align} \dfrac{f(p)}{\log p} -\dfrac{1}{b} & = \left\{ 1 +\dfrac{\sqrt[k]{a} \left( \sqrt[k]{p} -1 \right)}{\log p} \right\} -\left( 1 +\dfrac{\sqrt[k]{a}}{k} \right) \\ & = \sqrt[k]{a} \left( \dfrac{\sqrt[k]{p} -1}{\log p} -\dfrac{1}{k} \right) \\ & = \dfrac{\sqrt[k]{a}}{\log p} \underline{\left( \sqrt[k]{p} -1 -\log \sqrt[k]{p} \right)} _ {[2]} \ . \end{align}\] [2]について, 一般に \(x \gt 1\) について \(x -1 \gt \log x\) なので, [1]より \[ [2] \gt 0 \ . \] したがって \[\begin{align} \dfrac{f(p)}{\log p} -\dfrac{1}{b} & \gt 0 \\ \log p & \lt bS \\ \text{∴} \quad p & \lt e^{bS} \ . \end{align}\]
以上より, 題意は示された.