\(n\) を自然数, \(m\) を \(2n\) 以下の自然数とする. \(1\) から \(n\) までの自然数が \(1\) つずつ記されたカードが, それぞれの数に対して \(2\) 枚ずつ, 合計 \(2n\) 枚ある. この中から, \(m\) 枚のカードを無作為に選んだとき, それらに記された数がすべて異なる確率を \(P _ n (m)\) と表す. ただし \(P _ n (1) = 1\) とする. さらに, \(E _ n (m) = m P _ n (m)\) とおく. このとき以下の各問いに答えよ.
(1) \(P _ 3 (2) , P _ 3 (3) , P _ 3 (4)\) を求めよ.
(2) \(E _ {10} (m)\) を最大にするような \(m\) を求めよ.
(3) 自然数 \(n\) に対し, \(E _ n (m) \gt E _ n (m+1)\) を満たす自然数 \(m\) の最小値を \(f(n)\) とするとき, \(f(n)\) を \(n\) を用いて表せ. ただし, ガウス記号 \([ \quad ]\) を用いてよい. ここで, 実数 \(x\) に対して, \(x\) を超えない最大の整数を \([x]\) と表す.
【 解 答 】
(1)
カードの取り出し方は, \({} _ {2n} \text{C} {} _ {m}\) 通りある.
条件をみたすカードの取り出し方は \(1 \leqq m \leqq n\) のときに限って, \(2^m {} _ {n} \text{C} {} _ {m}\) 通りある.
したがって
\[\begin{align}
P _ n (m) & = \left\{ \begin{array}{ll} \dfrac{2^m {} _ {n} \text{C} {} _ {m}}{{} _ {2n} \text{C} {} _ {m}} & ( \ 1 \leqq m \leqq n \ \text{のとき} ) \\ 0 & ( \ n+1 \leqq m \leqq 2n \ \text{のとき} ) \end{array} \right. \ .
\end{align}\]
よって
\[\begin{align}
P _ 3 (2) & = \dfrac{2^2 {} _ {3} \text{C} {} _ {2}}{{} _ {6} \text{C} {} _ {2}} = \dfrac{4 \cdot 3}{15} = \underline{\dfrac{4}{5}} , \\
P _ 3 (3) & = \dfrac{2^3 {} _ {3} \text{C} {} _ {3}}{{} _ {6} \text{C} {} _ {3}} = \dfrac{8}{20} = \underline{\dfrac{2}{5}} , \\
P _ 3 (4) & = \underline{0} \ .
\end{align}\]
(2)
\(1 \leqq m \leqq n\) の場合について考えればよい.
このとき, \(1 \leqq m \leqq n-1\) に対して
\[\begin{align}
\dfrac{E _ n (m+1)}{E _ n (m)} & = \dfrac{(m+1) 2^{m+1} {} _ {n} \text{C} {} _ {m+1}}{{} _ {2n} \text{C} {} _ {m+1}} \cdot \dfrac{{} _ {2n} \text{C} {} _ {m}}{m 2^m {} _ {n} \text{C} {} _ {m}} \\
& = \dfrac{2 (m+1)}{m} \cdot \dfrac{n !}{(m+1) ! (n-m-1) !} \cdot \dfrac{m ! (n-m) !}{n !} \\
& \qquad \cdot \dfrac{2n !}{m ! (2n-m) !} \cdot \dfrac{(m+1) ! (2n-m-1) !}{2n !} \\
& = \dfrac{2 (m+1) (n-m)}{m (2n-m)} \quad ... [1] \ .
\end{align}\]
\(n = 10\) のとき, [1] と \(1\) の大小を比較すると
\[\begin{align}
\dfrac{2 (m+1) (10-m)}{m (20-m)} & \gt 1 \\
2 ( 10 +9m -m^2 ) & \gt 20m -m^2 \quad ( \ \text{∵} \ m (20-m) \gt 0 \ ) \\
m^2 +2m -20 & \lt 0 \\
\text{∴} \quad -1 -\sqrt{21} & \lt m \lt -1 +\sqrt{21} \ .
\end{align}\]
\(4 \lt \sqrt{21} \lt 5\) なので
\[
1 \leqq m \leqq 3 \ .
\]
したがって
\[
\left\{ \begin{array}{ll} E _ {10} (m+1) \gt E _ {10} (m) & ( \ 1 \leqq m \leqq 3 \ \text{のとき} ) \\ E _ {10} (m+1) \lt E _ {10} (m) & ( \ 4 \leqq m \leqq 9 \ \text{のとき} ) \end{array} \right. \ .
\]
なので, 求める \(m\) の値は
\[
m = \underline{4} \ .
\]
(3)
(2) と同様に考えると \[\begin{align} \dfrac{2 (m+1) (n-m)}{m (2n-m)} & \gt 1 \\ 2 \{ n +(n-1) m -m^2 \} & \gt 2nm -m^2 \quad ( \ \text{∵} \ m (20-m) \gt 0 \ ) \\ m^2 +2m -2n & \lt 0 \\ \text{∴} \quad -1 -\sqrt{2n+1} & \lt m \lt -1 +\sqrt{2n+1} \ . \end{align}\] したがって \[ 1 \leqq m \leqq \left[ \sqrt{2n+1} \right] -1 \ . \] よって, 求める \(m\) の値は \[ m = \underline{\left[ \sqrt{2n+1} \right]} \ . \]