実数 \(a , b\) に対し, \(f(x) = x^3 -3ax +b\) とおく. \(-1 \leqq x \leqq 1\) における \(\left| f(x) \right|\) の最大値を \(M\) とする. このとき以下の各問いに答えよ.
(1) \(a \gt 0\) のとき, \(f(x)\) の極値を \(a , b\) を用いて表せ.
(2) \(b \geqq 0\) のとき, \(M\) を \(a , b\) を用いて表せ.
(3) \(a , b\) が実数全体を動くとき, \(M\) のとりうる値の範囲を求めよ.
解答
(1)
\[ f'(x) = 3 ( x^2 -a ) \ . \] \(a \gt 0\) なので, \(f'(x) = 0\) をとくと \[ x = \pm \sqrt{a} \ . \] したがって, \(f(x)\) の増減は下表のようになる. \[ \begin{array}{c|cccc} x & \cdots & -\sqrt{a} & \cdots & \sqrt{a} & \cdots \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \nearrow & \text{極大} & \searrow & \text{極小} & \nearrow \end{array} \] よって, 求める極値は \[ f \left( \pm \sqrt{a} \right) = \underline{\mp 2a \sqrt{a} +b \quad ( \text{複号同順} ) \quad } \ . \]
(2)
\[ f( \pm 1 ) = \pm ( 1-3a ) +b \ . \] \(a \leqq 0\) のとき, \(f(x)\) は単調増加すること, また \(b \geqq 0\) なので \[ -f( \pm1 ) = \mp (1-3a) -b \leqq f( \mp 1 ) \ . \] に注意すれば, \(M\) の候補は \[\begin{gather} f(1) = -3a+b+1 , \quad f(-1) = 3a+b-1 , \\ f \left( -\sqrt{a} \right) = 2a \sqrt{a} +b \quad ( \ 0 \lt a \leqq 1 \ \text{のときのみ} ) \ . \end{gather}\] これらの大小を比較すると, 下のグラフのようになり
よって \[ M = \underline{\left\{ \begin{array}{ll} -3a+b+1 & \left( \ a \lt \dfrac{1}{4} \ \text{のとき} \right) \\ 2a \sqrt{a} +b & \left( \ \dfrac{1}{4} \leqq a \lt 1 \ \text{のとき} \right) \\ 3a+b-1 & ( \ a \geqq 1 \ \text{のとき} ) \end{array} \right.} \ . \]
(3)
\(b \lt 0\) のとき, \(b' = -b \ ( \gt 0 )\) とおけば
\[
\left| f(-x) \right| = \left| -( x^3 -3ax +b' ) \right| = \left| f(x) \right| \ .
\]
したがって, \(b = k \ ( \geqq 0 )\) のときの \(y = \left| f(x) \right|\) のグラフと, \(b = -k\) のときの \(y = \left| f(x) \right|\) のグラフは, \(y\) 軸について対称である.
よって, \(M\) の取りうる値の範囲は, \(b \geqq 0\) のときについて考えればよく, (2) の結果から
\[
M \geqq b +\dfrac{1}{4} \geqq \dfrac{1}{4} \ .
\]
すなわち
\[
\underline{M \geqq \dfrac{1}{4}} \ .
\]