\(a , b\) を正の実数とし, 曲線 \(C : y = b \sqrt{1 +\dfrac{x^2}{a^2}}\) を考える. このとき以下の各問いに答えよ.
(1) \(u\) を実数とし, \(C\) 上の点\(\left( u , b \sqrt{1 +\dfrac{u^2}{a^2}} \right)\) における接線の方程式を, \(a , b , u\) を用いて表せ.
(2) \(C\) 上の異なる \(2\) 点における接線の交点の全体からなる領域を図示せよ.
(3) (2) の領域にある点 \(( p , q )\) について, 点 \(( p , q )\) を通る \(C\) の接線の接点をすべて通る直線の方程式を, \(a , b , p , q\) を用いて表せ.
【 解 答 】
(1)
曲線 \(C\) は双曲線で, \(\dfrac{x^2}{a^2} -\dfrac{y^2}{b^2} = -1\) .
\(C\) の式を \(y = f(x)\) とおく.
\[
f'(x) = \dfrac{2x}{a^2} \cdot \dfrac{1}{2 \sqrt{1 +\dfrac{x^2}{a^2}}} = \dfrac{xb}{a \sqrt{a^2 +x^2}}
\]
なので, 接線の式は
\[\begin{align}
y & = \dfrac{ub}{a \sqrt{a^2 +u^2}} ( x-u ) +b \sqrt{1 +\dfrac{u^2}{a^2}} \\
& = \dfrac{ub x -u^2 b +b ( a^2 +u^2 )}{a \sqrt{a^2 +x^2}} \\
& = \dfrac{b ( ux +a^2 )}{a \sqrt{a^2 +x^2}}
\end{align}\]
すなわち
\[
\underline{y = \dfrac{b ( ux +a^2 )}{a \sqrt{a^2 +u^2}}}
\]
(2)
(1) で求めた接線が, 点 \(( X , Y )\) を通るとき
\[
Y = \dfrac{b ( uX +a^2 )}{a \sqrt{a^2 +u^2}} \quad ... [1]
\]
これをみたす \(u\) が \(2\) つあるための条件を考えればよい.
[1] の右辺を \(g(u)\) とおくと
\[\begin{align}
g'(u) & = \dfrac{b}{a} \cdot \dfrac{X \sqrt{u^2 +a^2} -\dfrac{2u ( Xu +a^2 )}{2 \sqrt{u^2 +a^2}}}{u^2 +a^2} \\
& = \dfrac{b}{a} \cdot \dfrac{X ( u^2 +a^2 ) -u ( Xu +a^2 )}{( u^2 +a^2 )^{\frac{3}{2}}} \\
& = \dfrac{ab ( X-u )}{( u^2 +a^2 )^{\frac{3}{2}}}
\end{align}\]
\(g'(u) = 0\) をとくと, \(u = X\) .
\[
g(X) = b \sqrt{1 +\dfrac{X^2}{a^2}} = f(X)
\]
また
\[
g(u) = \dfrac{b}{a} \cdot \dfrac{\dfrac{u}{|u|} X +\dfrac{a^2}{|u|}}{\sqrt{1 +\dfrac{a^2}{u^2}}}
\]
なので
\[\begin{align}
\displaystyle\lim_{u \rightarrow \infty} g(u) = \dfrac{b}{a} X \ , \ \displaystyle\lim_{u \rightarrow -\infty} g(u) = -\dfrac{b}{a} X
\end{align}\]
したがって, \(g(u)\) の増減は下表の通り.
\[
\begin{array}{c|ccccc} u & ( -\infty ) & \cdots & X & \cdots & ( \infty ) \\ \hline g'(u) & & + & 0 & - & \\ \hline g(u) & \left( -\dfrac{b}{a} X \right) & \nearrow & f(X) & \searrow & \left( \dfrac{b}{a} X \right) \end{array}
\]
よって, 求める条件は
\[
Y \gt -\dfrac{b}{a} X \ \text{かつ} \ Y \gt \dfrac{b}{a} X \ \text{かつ} \ Y \lt f(X)
\]
これを, 図示すると下図斜線部（境界は含まない）.
(3)
(2) の結果より, 点 \(( p , q )\) を通る接線は \(2\) 本あり, それぞれの接点を \(( x_1 , y_1 ) , ( x_2 , y_2 )\) とおくと, 接線の式は
\[
\dfrac{x_1}{a^2} x -\dfrac{y_1}{b^2} y = -1 \ , \ \dfrac{x_2}{a^2} x -\dfrac{y_2}{b^2} y = -1
\]
これが, 点 \(( p , q )\) を通るので
\[
\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{p x_1}{a^2} -\dfrac{q y_1}{b^2} = -1 \\ \dfrac{p x_2}{a^2} -\dfrac{q y_2}{b^2} = -1 \end{array} \right.
\]
これは, 直線 \(\dfrac{p}{a^2} x -\dfrac{q}{b^2} y = -1\) が \(2\) 点 \(( x_1 , y_1 ) , ( x_2 , y_2 )\) を通ることを示している.
よって, 求める式は
\[
\underline{\dfrac{p}{a^2} x -\dfrac{q}{b^2} y = -1}
\]