(1) 一般項 \(a _ n\) が \(an^3 +bn^2 +cn\) で表される数列 \(\{ a _ n \}\) において, \[ n^2 = a _ {n+1} -a _ n \quad ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \] が成り立つように, 定数 \(a , b , c\) を定めよ.
(2) (1) の結果を用いて, \(\textstyle\sum\limits _ {k=1}^n k^2 = \dfrac{1}{6} n(n+1)(2n+1)\) となることを示せ.
(3) \(1, 2, 3, \cdots , n\) の相異なる \(2\) 数の積のすべての和を \(S(n)\) とする. たとえば, \(S(3) = 1 \times 2 +1 \times 3 +2 \times 3 = 11\) である. \(S(n)\) を \(n\) の \(4\) 次式で表せ.
【 解 答 】
(1)
\[\begin{align} a _ {n+1} -a _ n & = a(n+1)^3 +b(n+1)^2 +c(n+1) \\ & \qquad -an^3-bn^2-cn \\ & = 3a n^2 +(3a+2b) n+(a+b+c) \end{align}\] \(n^2 = a _ {n+1} -a _ n\) なので, 係数を比較して \[\begin{gather} 3a = 1 , \ 3a+2b = 0 , \ a+b+c = 0 \\ \text{∴} \quad ( a , b , c ) = \underline{\left( \dfrac{1}{3} , \ -\dfrac{1}{2} , \ \dfrac{1}{6} \right)} \end{gather}\]
(2)
\[\begin{align} \textstyle\sum\limits _ {k=1}^n k^2 & = \textstyle\sum\limits _ {k=1}^n \left( a _ {k+1} -a _ k \right) \\ & = a _ {n+1} -a _ 1 \\ & = \dfrac{(n+1)^3}{3} -\dfrac{(n+1)^2}{2} +\dfrac{n+1}{6} -0 \\ & = \dfrac{1}{6} (n+1) \left\{ 2(n+1)^2 -3(n+1) +1 \right\} \\ & = \dfrac{1}{6} (n+1)(2n^2+n) \\ & = \dfrac{1}{6} n(n+1)(2n+1) \end{align}\]
(3)
\[ 2 S(n) = \left( 1 +2 + \cdots + n \right)^2 -\left( 1^2 +2^2 + \cdots + n^2 \right) \] であることを用いれば \[\begin{align} S(n) & = \dfrac{1}{2} \left\{ \dfrac{1}{4} n^2 (n+1)^2 -\dfrac{1}{6} n(n+1)(2n+1) \right\} \\ & = \dfrac{1}{24} n(n+1) \left\{ 3n(n+1) -2(2n+1) \right\} \\ & = \dfrac{1}{24} n(n+1)(3n^2-n-2) \\ & = \underline{\dfrac{1}{24} n(n-1)(n+1)(3n+2)} \end{align}\]