\(p , q\) を正の実数とする. \(x\) の方程式 \[ \log _ {10} (px) \cdot \log _ {10} (qx) +1 = 0 \] が \(1\) より大きい解をもつとき, 点 \(\left( \log _ {10} p , \log _ {10} q \right)\) の存在する範囲を座標平面上に図示せよ.
【 解 答 】
\(P =\log _ {10} p\) , \(Q =\log _ {10} q\) , \(X =\log _ {10} x\) とおくと, 与えられた方程式は
\[\begin{align}
(X+P)(X+Q) +1 & = 0 \\
\text{∴} \quad X^2 +(P+Q)X +PQ+1 & = 0 \quad ... [1]
\end{align}\]
\(x \gt 1\) のとき, \(X \gt 0\) なので, \(X\) についての方程式 [1] が正の解をもつための \(P , Q\) の条件を求めればよい.
[1] の左辺を \(f(X)\) とおき, 判別式を \(D\) とすれば
\[\begin{align}
f(X) & = \left( X +\dfrac{P+Q}{2} \right)^2 -\dfrac{(P-Q)^2}{4}+1 , \\
D & = (P+Q)^2 -4( PQ+1 ) = (P-Q)^2 -4 \\
& = (P+Q-2)(P-Q-2)
\end{align}\]
ゆえに, 求める条件は, 次にあげる 1* または 2* のときである.
1* \(f(X) = 0\) が, 正の解を \(1\) つだけもつとき \[\begin{align} f(0) = PQ+1 & \lt 0 \\ \text{∴} \quad PQ & \lt -1 \end{align}\]
2* \(f(X) = 0\) が, 正の解を \(2\) つ（重解を含む）もつとき \[\begin{align} f(0) \geqq 0 , \ -\dfrac{P+Q}{2} & \gt 0 , \ D \geqq 0 \\ \text{∴} \quad PQ \geqq -1 , \ P+Q & \lt 0 , \ (P+Q-2)(P-Q-2) \geqq 0 \end{align}\]
よって, 求める領域は下図斜線部（境界線のうち, 点線, ○は含まず, 実線は含む）となる.
