行列 \(A = \left( \begin{array}{cc} 1 & -2 \\ -2 & 1 \end{array} \right)\) について, 次の問いに答えよ.
(1) \(P = \left( \begin{array}{cc} 1 & -a \\ a & 1 \end{array} \right)\) , \(D = \left( \begin{array}{cc} x & 0 \\ 0 & y \end{array} \right)\) とする. \(AP =PD\) が成り立つとき, \(a , x , y\) を求めよ. ただし \(a \gt 0\) とする.
(2) \(\left( A +tE \right)^n =4E\) が成り立つような実数 \(t\) と自然数 \(n\) の組をすべて求めよ. ただし, \(E = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)\) とする.
【 解 答 】
(1)
\[\begin{align}
AP & = \left( \begin{array}{cc} 1 & -2 \\ -2 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 1 & -a \\ a & 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} -2a+1 & -a-2 \\ a-2 & 2a+1 \end{array} \right) , \\
PD & = \left( \begin{array}{cc} 1 & -a \\ a & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} x & 0 \\ 0 & y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} x & -ay \\ ax & y \end{array} \right)
\end{align}\]
したがって, 条件より
\[
\left\{\begin{array}{ll} x = -2a+1 & ... [1] \\ -ay = -a-2 & ... [2] \\ ax = a-2 & ... [3] \\ y = 2a+1 & ... [4] \end{array}\right.
\]
[1] を [3] に代入すると
\[\begin{align}
-2a^2 +a & = a-2 \\
a^2 & = 1 \\
\text{∴} \quad a & = 1 \quad ( \ \text{∵} \ a \gt 0 \ )
\end{align}\]
これを [1] [4] に代入すると
\[
x = -1 , \ y = 3
\]
これらは [2] もみたしている.
よって
\[
(a,x,y) = \underline{( 1 , -1 , 3 )}
\]
(2)
(1) の結果より
\[
\det P = 1 \cdot 1 -(-1) \cdot 1 = 2
\]
なので, \(P\) は逆行列をもつ.
\(\left( A +tE \right)^n = 4E\) の両辺に右から \(P^n\) を掛けると
\[\begin{align}
\left( AP +tP \right)^n & = 4P^n \\
\left( PD +tP \right)^n & = 4P^n \\
P^n \left( D +tE \right)^n & = 4P^n
\end{align}\]
両辺に左から \(P^{-n}\) を掛ければ
\[
\left( D +tE \right)^n = 4E
\]
ここで
\[
\left( D +tE \right)^n = \left( \begin{array}{cc} (t-1)^n & 0 \\ 0 & (t+3)^n \end{array} \right)
\]
なので
\[
\left\{\begin{array}{ll} (t-1)^n = 4 & ... [5] \\ (t+3)^n = 4 & ... [6] \end{array}\right.
\]
をみたす \(t , n\) を求めればよい.
[5] [6] より
\[\begin{align}
t = -\sqrt[n]{4} +1 & = \sqrt[n]{4} -3 \\
\text{∴} \quad \sqrt[n]{4} & = 2 \\
\text{∴} \quad n & = 2
\end{align}\]
ゆえに, \(t = -1\) .
よって
\[
(t, n) = \underline{( -1 , 2 )}
\]