放物線 \(C : \ y = x^2\) 上の異なる \(2\) 点 P \(( t , t^2 )\) , Q \(( s , s^2 ) \quad ( s \lt t )\) における接線の交点を R \(( X , Y )\) とする.
(1) \(X , Y\) を \(t , s\) を用いて示せ.
(2) 点 P, Q が \(\angle \text{PRQ} =\dfrac{\pi}{4}\) を満たしながら \(C\) 上を動くとき, 点 R は双曲線上を動くことを示し, かつ, その双曲線の方程式を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\(y = x^2\) より, \(y' =2x\) なので \[\begin{align} \text{PR} : \ y = 2t(x-t) +t^2 = 2tx -t^2 , \\ \text{QR} : \ y = 2sx -s^2 \end{align}\] PR , QR の式より \[\begin{align} 2tx -t^2 & = 2sx -s^2 \\ 2(t-s)x & = t^2 -s^2 \\ \text{∴} \quad x & = \dfrac{t+s}{2} \quad ( \ \text{∵} \ t \neq s \ ) \end{align}\] また \[ y = 2t \cdot \dfrac{t+s}{2} -t^2 = st \] よって \[ ( X , Y ) = \underline{\left( \dfrac{t+s}{2} , st \right)} \]
(2)
PR , QR の \(x\) 軸正方向となす角を \(\alpha , \beta\) とおくと
\[
\tan \alpha = 2t , \ \tan \beta = 2s
\]
また \(s \lt t\) なので, \(\beta \lt \alpha\) .
\(\angle \text{PRQ} = \dfrac{\pi}{4}\) なので
\[\begin{align}
\tan (\beta -\alpha) & = \tan \dfrac{\pi}{4} \\
\dfrac{\tan \beta -\tan \alpha}{1 +\tan \alpha \tan \beta} & = 1 \\
\text{∴} \quad 2(s-t) & = 1+4st \quad ... [1]
\end{align}\]
ここで \(s \lt t\) より, \(1+4st \lt 0\) ... [2] .
[1] の両辺を平方すると
\[
4(t+s)^2 -16st = (1+4st)^2
\]
(1) の結果を代入すれば
\[\begin{align}
16X^2 -16Y = 1+8Y & +16Y^2 \\
16X^2 -16Y^2 -24Y & = 1 \\
16X^2 -16 \left( Y +\dfrac{3}{4}\right)^2 & = -8 \\
\text{∴} \quad \left( Y +\dfrac{3}{4}\right)^2 -X^2 & = \dfrac{1}{2}
\end{align}\]
また [2] より, \(Y \lt -\dfrac{1}{4}\) .
よって, R は
\[
\text{双曲線} : \ \underline{\left( y +\dfrac{3}{4}\right)^2 -x^2= \dfrac{1}{2}}
\]
の \(y \lt -\dfrac{1}{4}\) の部分, つまり下半分を動く.