(1) 等式 \(\cos 3\theta = 4\cos^3 \theta -3 \cos \theta\) を示せ.
(2) \(2 \cos 80^{\circ}\) は \(3\) 次方程式 \(x^3-3x+1 = 0\) の解であることを示せ.
(3) \(x^3-3x+1 = \left( x -2\cos 80^{\circ} \right) \left( x -2\cos \alpha \right) \left( x -2\cos \beta \right)\) となる角度 \(\alpha , \beta\) を求めよ. ただし, \(0^{\circ} \lt \alpha \lt \beta \lt 180^{\circ}\) とする.
【 解 答 】
(1)
加法定理を用いれば \[\begin{align} \sin 2 \theta & = \sin \left( \theta +\theta \right) \\ & = \sin \theta \cos \theta +\cos \theta \sin \theta \\ & = 2 \sin \theta \cos \theta , \\ \cos 2\theta & = \cos \left( \theta +\theta \right) \\ & = \cos \theta \cos \theta -\sin \theta \sin \theta \\ & = 2\cos^2 \theta -1 \end{align}\] これらを用いれば \[\begin{align} \cos 3 \theta & = \cos \left( 2\theta +\theta \right) \\ & =\cos 2\theta \cos \theta -\sin 2\theta \sin \theta \\ & =\left( 2\cos^2 \theta -1 \right) \cos \theta -2\sin^2 \theta \cos \theta \\ & = 2\cos^3 \theta -\cos \theta -2\cos \theta +2\cos^3 \theta \\ & = 4\cos^3 \theta -3\cos \theta \end{align}\]
(2)
\(f(x) =x^3 -3x +1\) とおく.
(1) の結果より, \(\cos^3 \theta = \dfrac{\cos 3\theta +3\cos \theta}{4}\) なので
\[\begin{align}
f \left( 2 \cos 80^{\circ} \right) & = 8\cos^3 80^{\circ} -6\cos 80^{\circ} +1 \\
& = 2 \left( \cos 240^{\circ} +3\cos 80^{\circ} \right) -6\cos 80^{\circ} +1 \\
& = 2 \left( - \dfrac{1}{2} \right) +1 = 0
\end{align}\]
よって, \(2 \cos 80^{\circ}\) は \(f(x)=0\) の解である.
(3)
\(f(x) = 0\) の解を求めればよい.
(2) の経過より, \(2 \cos t \ ( \ 0^{\circ} \lt t \lt 180^{\circ} \ ... [1] \ )\) が \(f(x)\) の解になるのは
\[
\cos 3t = -\dfrac{1}{2}
\]
となるときである.
[1] より, \(0^{\circ} \lt 3t \lt 540^{\circ}\) なので
\[\begin{align}
3t & = 120^{\circ} , 240^{\circ} , 480^{\circ} \\
\text{∴} \quad t & = 40^{\circ} , 80^{\circ} , 160^{\circ}
\end{align}\]
よって,
\[
\alpha = \underline{40^{\circ}} , \ \beta =\underline{160^{\circ}}
\]