\(f(x)\) を整式で表される関数とし, \(g(x) = \displaystyle\int _ 0^x e^t f(t) \, dt\) とおく. 任意の実数 \(x\) について \[ x \left( f(x) -1 \right) = 2 \displaystyle\int _ 0^x e^{-t} g(t) \, dt \] が成り立つとする.
(1) \(x f''(x) +(x+2) f'(x) -f(x) = 1\) が成り立つことを示せ.
(2) \(f(x)\) は定数または \(1\) 次式であることを示せ.
(3) \(f(x)\) および \(g(x)\) を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\[ x \left( f(x) -1 \right) = 2 \displaystyle\int _ 0^x e^{-t} g(t) \, dt \quad ... [\text{A}] \] 条件より \[ g'(x) = e^x f(x) \quad ... [1] \] [A] の左辺, 右辺をそれぞれ \(u(x) , v(x)\) とおく. \[\begin{align} u'(x) & = x f'(x) +f(x) -1 , \\ v'(x) & = 2 e^{-x} g(x) \\ \text{∴} \quad 2 e^{-x} g(x) & = x f'(x) +f(x) -1 \quad ... [2] \end{align}\] さらに \[\begin{align} u''(x) & = f'(x) +xf''(x) +f'(x) = x f''(x) +2f'(x) , \\ v''(x) & = -2e^{-x} g(x) +2e^{-x} \cdot g'(x) \\ & = -\left( x f'(x) +f(x) -1 \right) +2 f(x) \quad ( \ \text{∵} \ [1] [2] \ ) \\ & = -xf'(x) +f(x) +1 \\ \text{∴} \quad x f''(x) & +2f'(x) = -xf'(x) +f(x) +1 \\ \text{∴} \quad x f''(x) & +(x+2) f'(x) -f(x) =1 \end{align}\]
(2)
\(f(x)\) を \(x\) の \(n\) 次式とし, \(n\) 次の係数を \(a \ ( a \neq 0 )\) とおくと \[\begin{align} f(x) & = a x^n + \cdots , \ f'(x) = na x^{n-1}+ \cdots , \\ f''(x) & = an(n-1) x^{n-2} + \cdots \end{align}\]
(1) の結果の左辺に着目すると, 各項の次数は \[ xf''(x) : \ n-1 \text{次}, \ (x+2) f'(x) : \ n \text{次} , \ f(x) : \ n \text{次} \] なので, 左辺の次数は高々 \(n\) 次で, その係数に着目すると \[\begin{align} x \left( an x^{n-1} \right) & -\left( a x^n + \cdots \right) \\ & = a(n-1) x^n + \cdots \end{align}\] \(n \geqq 2\) とすると, 左辺は \(n\) 次となり, 右辺が定数であることに矛盾する. 一方
\(n=1\) のとき, 左辺は \(1\) 次の項が消えて, 定数項となる.
\(n=0\) のとき, 左辺は定数項となる.
よって, 題意は示された.
(3)
(2) の結果より, \(f(x) = ax+b\) とおける.
(1) の結果を用いれば, \(f'(x) = a\) , \(f''(x) = 0\) なので
\[\begin{align}
a(x+2) -ax-b & = 1 \\
\text{∴} \quad b & = 2a-1 \quad ... [3]
\end{align}\]
したがって
\[\begin{align}
g(x) & = \displaystyle\int _ 0^x ( at +2a-1 ) e^t \, dt \\
& = a\big[ t e^{t} \big] _ 0^x -a \displaystyle\int _ 0^x e^t \, dt +(2a-1) \displaystyle\int _ 0^x e^t \, dt \\
& = ax e^x -(a-1) \big[ e^t \big] _ 0^x \\
& = ax e^x -(a-1) \left( e^x -1 \right) \quad ... [4]
\end{align}\]
さらに
\[\begin{align}
v(x) & = 2 \displaystyle\int _ 0^x e^{-t} \left\{ at e^t -(a-1) \left( e^t -1 \right) \right\} \, dt \\
& = 2 \displaystyle\int _ 0^x \left\{ at -(a-1) \left( 1-e^{-t} \right) \right\} \, dt \\
& = 2 \left[ \dfrac{at^2}{2} -(a-1) \left( t +e^{-t} \right) \right] _ 0^x \\
& = ax^2 +2(a-1) \left( x +e^{-x} -1 \right)
\end{align}\]
ここで
\[
u(x) = x \{ ax +2(a-1) \} = ax^2 +2(a-1)x
\]
なので, [A] より
\[
2(a-1) \left( e^{-x} -1 \right) = 0
\]
これが任意の実数 \(x\) で成立するので
\[\begin{align}
a-1 & = 0 \\
\text{∴} \quad a & = 1
\end{align}\]
[3] より, \(b =2-1 =1\) .
よって, [4] より
\[
f(x) = \underline{x+1} , \ g(x) = \underline{x e^x}
\]