自然数の数列 \(\{ a _ n \} , \{ b _ n \}\) は \[ \left( 5+\sqrt{2} \right)^n = a _ n +b _ n \sqrt{2} \quad ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \] を満たすものとする.
(1) \(\sqrt{2}\) は無理数であることを示せ.
(2) \(a _ {n+1} , b _ {n+1}\) を \(a _ n , b _ n\) を用いて表せ.
(3) すべての自然数 \(n\) に対して, \(a _ {n+1} +pb _ {n+1} =q \left( a _ n +pb _ n \right)\) が成り立つような定数 \(p , q\) を \(2\) 組求めよ.
(4) \(a _ n , b _ n\) を \(n\) を用いて表せ.
【 解 答 】
(1)
\(\sqrt{2} = \dfrac{m}{n}\) （ \(m\) , \(n\) はともに自然数で互いに素 ... [1] ）と仮定すると
\[
2 n^2 =m^2
\]
したがって, \(m\) は \(2\) の倍数であり, \(m = 2m'\) とおくと
\[\begin{align}
2n^2 & = \left( 2m' \right)^2 \\
\text{∴} \quad n^2 & = 2{m'}^2
\end{align}\]
なので, \(n\) も \(2\) の倍数となるが, これは [1] に矛盾する.
よって, \(\sqrt{2}\) は有理数ではなく, 無理数である.
(2)
条件より \[\begin{align} a _ {n+1} +b _ {n+1} \sqrt{2} & = \left( a _ n +b _ n \sqrt{2} \right) \left( 5+\sqrt{2} \right) \\ & = \left( 5 a _ n +2 b _ n \right) +\left( a _ n + 5 b _ n \right) \sqrt{2} \end{align}\] よって \[ a _ {n+1} = \underline{5 a _ n +2 b _ n} , \ b _ {n+1} = \underline{a _ n + 5 b _ n} \]
(3)
\[\begin{align} a _ {n+1} +p b _ {n+1} & = 5 a _ n +2 b _ n +p \left( a _ n + 5 b _ n \right) \\ & = (p+5) a _ {n} +(5p+2) b _ n \end{align}\] なので \[ \left\{ \begin{array}{l} q =p+5 \\ pq =5p+2 \end{array} \right. \] ゆえに \[\begin{align} p (p+5) & = 5p+2 \\ p^2 & = 2 \\ \text{∴} \quad p & = \pm \sqrt{2} \\ \text{∴} \quad q & = 5 \pm \sqrt{2} \end{align}\] よって \[ ( p , q ) = \underline{\left( \pm \sqrt{2} , 5 \pm \sqrt{2} \right) \quad ( \text{複号同順})} \]
(4)
(3) の結果より \[\begin{align} a _ {n+1} +\sqrt{2} b _ {n+1} & = \left( 5+\sqrt{2} \right) \left( a _ n +\sqrt{2} b _ n \right) , \\ a _ {n+1} -\sqrt{2} b _ {n+1} & = \left( 5-\sqrt{2} \right) \left( a _ n -\sqrt{2} b _ n \right) \end{align}\] したがって, \(a _ 1 +\sqrt{2} b _ 1 = 5 +\sqrt{2}\) , \(a _ 1 -\sqrt{2} b _ 1 = 5 -\sqrt{2}\) なので \[\begin{align} a _ n +\sqrt{2} b _ n & = \left( 5+\sqrt{2} \right) \left( 5+\sqrt{2} \right)^{n-1} =\left( 5+\sqrt{2} \right)^n \quad ... [2] , \\ a _ n -\sqrt{2} b _ n & = \left( 5-\sqrt{2} \right) \left( 5-\sqrt{2} \right)^{n-1} =\left( 5-\sqrt{2} \right)^n \quad ... [3] \end{align}\] よって, \(( \text{[2]}+\text{[3]} ) \div 2\) , \(( \text{[2]}-\text{[3]} ) \div 2 \sqrt{2}\) より \[\begin{align} a _ n & = \underline{\dfrac{1}{2} \left\{ \left( 5+\sqrt{2} \right)^n +\left( 5-\sqrt{2} \right)^n \right\}} , \\ b _ n & = \underline{\dfrac{\sqrt{2}}{4} \left\{ \left( 5+\sqrt{2} \right)^n -\left( 5-\sqrt{2} \right)^n \right\}} \end{align}\]