\(3\) つの曲線 \[\begin{align} C _ 1 : \ y & = \sin x \quad \left( 0 \leqq x \lt \frac{\pi}{2} \right) \\ C _ 2 : \ y & = \cos x \quad \left( 0 \leqq x \lt \frac{\pi}{2} \right) \\ C _ 3 : \ y & = \tan x \quad \left( 0 \leqq x \lt \frac{\pi}{2} \right) \end{align}\] について以下の問いに答えよ.
(1) \(C _ 1\) と \(C _ 2\) の交点, \(C _ 2\) と \(C _ 3\) の交点, \(C _ 3\) と \(C _ 1\) の交点のそれぞれについて \(y\) 座標を求めよ.
(2) \(C _ 1 , C _ 2 , C _ 3\) によって囲まれる図形の面積を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\(C _ 1\) と \(C _ 2\) の交点について \[\begin{align} \sin x & = \cos x \\ \sqrt{2} \sin \left( x -\dfrac{\pi}{4} \right) & = 0 \\ \text{∴} \quad x =\dfrac{\pi}{4} & \end{align}\] したがって, 交点の \(y\) 座標は \[ \sin \dfrac{\pi}{4} = \underline{\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \]
\(C _ 2\) と \(C _ 3\) の交点について \[\begin{align} \cos x & = \tan x \\ \cos^2 x -\sin x & = 0 \\ \sin^2 x +\sin x -1 & = 0 \\ \text{∴} \quad \sin x = \dfrac{\sqrt{5} -1}{2} & \end{align}\] ここで, \(\sin \alpha =\dfrac{\sqrt{5} -1}{2} \ \left( 0 \lt \alpha \lt \dfrac{\pi}{2} \right)\) とおけば, 交点の \(y\) 座標は \[\begin{align} \cos \alpha & = \sqrt{1 -\left( \dfrac{\sqrt{5} -1}{2} \right)^2} \\ & = \underline{\sqrt{\dfrac{\sqrt{5} -1}{2}}} \end{align}\]
\(C _ 3\) と \(C _ 1\) の交点について \[\begin{align} \sin x & = \tan x \\ \sin x \left( \cos x -1 \right) & = 0 \\ \text{∴} \quad x = 0 & \end{align}\] したがって, 交点の \(y\) 座標は \[ \sin 0 = \underline{0} \]
(2)
\(C _ 1 , C _ 2 , C _ 3\) に囲まれる部分は下図斜線部のようになる.
よって, 求める面積 \(S\) は \[\begin{align} S & = \displaystyle\int _ 0^{\alpha} ( \tan x -\sin x ) \, dx +\displaystyle\int _ {\alpha}^{\frac{\pi}{4}} ( \cos x -\sin x ) \, dx \\ & = \left[ -\log ( \cos x ) \right] _ 0^{\alpha} +\left[ \sin x \right] _ {\alpha}^{\frac{\pi}{4}} -\left[ -\cos x \right] _ 0^{\frac{\pi}{4}} \\ & = \dfrac{1}{2} \log \dfrac{2}{\sqrt{5}-1} +\dfrac{\sqrt{2}}{2} -\dfrac{\sqrt{5}-1}{2} +\dfrac{\sqrt{2}}{2} -1 \\ & = \underline{\dfrac{1}{2} \log \dfrac{\sqrt{5}+1}{2} -\dfrac{\sqrt{5}+1}{2} +\sqrt{2}} \end{align}\]