点 \(O\) を原点とする座標平面上に, \(2\) 点 \(A \ (1,0)\) , \(B \ ( \cos \theta ,\sin \theta ) \ ( 90^{\circ} \lt \theta \lt 180^{\circ} )\) をとり, 以下の条件をみたす \(2\) 点 \(C , D\) を考える. \[ \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC} = 1 , \ \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OD} = 0 , \ \overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC} = 0 , \ \overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OD} = 1 \] また, \(\triangle OAB\) の面積 \(S _ 1\) , \(\triangle OCD\) の面積 \(S _ 2\) とおく.
(1) ベクトル \(\overrightarrow{OC}\) , \(\overrightarrow{OD}\) の成分を求めよ.
(2) \(S _ 2 = 2 S _ 1\) が成り立つとき, \(\theta\) と \(S _ 1\) の値を求めよ.
(3) \(S = 4 S _ 1 +3 S _ 2\) を最小にする \(\theta\) と, そのときの \(S\) の値を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\(\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC} =0\) , \(\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OD} =0\) より, 実数 \(s , t\) を用いて
\[
\overrightarrow{OC} = s \left( \sin \theta , -\cos \theta \right) , \ \overrightarrow{OD} = t ( 0 , 1 )
\]
と表せる.
条件より
\[\begin{align}
\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC} & = s \sin \theta = 1 \\
\text{∴} \quad s & = \dfrac{1}{\sin \theta} \\
\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OD} & = t \sin \theta = 1 \\
\text{∴} \quad t & = \dfrac{1}{\sin \theta}
\end{align}\]
よって
\[
\overrightarrow{OC} = \underline{\left( 1 , -\dfrac{\cos \theta}{\sin \theta} \right)} , \ \overrightarrow{OD} = \underline{\left( 0 , \dfrac{1}{\sin \theta} \right)}
\]
(2)
\[\begin{align} S _ 1 & = \dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sin \theta = \dfrac{\sin \theta}{2} , \\ S _ 2 & = \dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot \dfrac{1}{\sin \theta} = \dfrac{1}{2 \sin \theta} \end{align}\] なので, \(S _ 2 = 2 S _ 1\) より \[\begin{align} \dfrac{\sin \theta}{2} & = \dfrac{1}{2 \sin \theta} \\ \sin^2 \theta & = \dfrac{1}{2} \\ \text{∴} \quad \sin \theta & = \pm \dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{align}\] \(90^{\circ} \lt \theta \lt 180^{\circ}\) なので \[ \theta = \underline{135^{\circ}} \] このとき \[ S _ 1 = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \underline{\dfrac{\sqrt{2}}{4}} \]
(3)
相加相乗平均の関係を用いれば \[\begin{align} S & = 2 \sin \theta +\dfrac{3}{2 \sin \theta} \\ & \geqq 2 \sqrt{2 \sin \theta \cdot \dfrac{3}{2 \sin \theta}} \\ & = 2 \sqrt{3} \end{align}\] 等号成立は \[\begin{align} 2 \sin \theta & = \dfrac{3}{2 \sin \theta} \\ \sin \theta & = \pm \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{align}\] \(90^{\circ} \lt \theta \lt 180^{\circ}\) なので \[ \theta = 120^{\circ} \] よって, \(\theta = \underline{120^{\circ}}\) のとき, 最小値 \(\underline{2 \sqrt{3}}\) をとる.