\(d\) を正の定数とする. \(2\) 点 \(A \ ( -d , 0 )\) , \(B \ ( d , 0 )\) からの距離の和が \(4d\) である点 \(P\) の軌跡として定まる楕円 \(E\) を考える. 点 \(A\) , 点 \(B\) , 原点 \(O\) から楕円 \(E\) 上の点 \(P\) までの距離をそれぞれ \(AP , BP , OP\) と書く. このとき, 以下の問いに答えよ.
(1) 楕円 \(E\) の長軸と短軸の長さを求めよ.
(2) \(AP^2+BP^2\) および \(AP \cdot BP\) を, \(OP\) と \(d\) を用いて表せ.
(3) 点 \(P\) が楕円 \(E\) 全体を動くとき, \(AP^3+BP^3\) の最大値と最小値を \(d\) を用いて表せ.
【 解 答 】
(1)
焦点 \(A , B\) が \(x\) 軸上にあるので, 楕円 \(E\) の式は
\[
\dfrac{x^2}{a^2} +\dfrac{y^2}{b^2} = 1 \quad ( a \gt b \gt 0 )
\]
とおくことができる.
ここで長軸の長さは \(a\) , 短軸の長さは \(b\) であり,
\[\begin{align}
(a-d)+(a+d) & = 4d \\
\text{∴} \quad a & = 2d
\end{align}\]
また
\[\begin{align}
2 \sqrt{b^2+d^2} & = 4d \\
\text{∴} \quad b^2+d^2 & = 4d^2 \\
\text{∴} \quad b & = \sqrt{3}d
\end{align}\]
よって, 長軸の長さは \(\underline{2d}\) , 短軸の長さは \(\underline{\sqrt{3}d}\) .
(2)
\(P \ ( X , Y )\) とおくと \[ OP^2 = X^2+Y^2 \] これと, \(AP+BP = 4d\) を用いれば \[\begin{align} AP^2+BP^2 & = (X-d)^2+Y^2+(X+d)^2+Y^2 \\ & = 2 \left( X^2+Y^2+d^2 \right) = \underline{2 \left( OP^2 +d^2 \right)} \end{align}\] また \[\begin{align} ( AP+BP )^2 & = 2 \left( OP^2+d^2 \right) +2 AP \cdot BP = 16d^2 \\ \text{∴} \quad AP \cdot BP & = \underline{7d^2 -OP^2} \end{align}\]
(3)
\[\begin{align} AP^3+BP^3 & = (AP+BP)^3 -3 AP \cdot BP (AP+BP) \\ & = 64d^3 -3 \left( 7d^2 -OP^2 \right) \cdot 4d \\ & = 12d OP^2 -20d^3 \end{align}\] (1) の結果より, \(3d^2 \leqq OP^2 \leqq 4d^2\) なので \[ 16d^3 \leqq AP^3+BP^3 \leqq 28d^3 \] よって, 最大値は \(\underline{28d^3}\) , 最小値は \(\underline{16d^3}\) .