曲線 \(C : \ y =\log x \ ( x \gt 0 )\) を考える. 自然数 \(n\) に対して, 曲線 \(C\) 上に点 \(P ( e^n , n ) , \ Q ( e^{2n} , 2n )\) をとり, \(x\) 軸上に点 \(A ( e^n , 0 ) , \ B ( e^{2n} , 0 )\) をとる. 四角形 \(APQB\) を \(x\) 軸のまわりに \(1\) 回転させてできる立体の体積を \(V(n)\) とする. また, 線分 \(PQ\) と曲線 \(C\) で囲まれる部分を \(x\) 軸のまわりに \(1\) 回転させてできる立体の体積を \(S(n)\) とする.
(1) \(V(n)\) を \(n\) の式で表せ.
(2) \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \dfrac{S _ n}{V _ n}\) を求めよ.
【 解 答 】
(1)
回転体は, 底面と上面の円の半径の比が \(2:1\) なので \[\begin{align} V(n) & = \dfrac{2^3 -1^3}{2^3} \cdot \dfrac{1}{3} \cdot \pi (2n)^2 \cdot 2 \left( e^{2n} -e^n \right) \\ & =\underline{\dfrac{7 \pi}{3} n^2 e^n \left( e^n-1 \right)} \end{align}\]
(2)
\[\begin{align} \displaystyle\int \left( \log x \right)^2 \, dx & = x \left( \log x \right)^2 -\displaystyle\int x \cdot 2 \log x \cdot \dfrac{1}{x} \, dx \\ & = x \left( \log x \right)^2 -2x \log x +2 \displaystyle\int x \cdot \dfrac{1}{x} \, dx \\ & = x \left( \log x \right)^2 -2x \log x +2x +C \quad ( \ C \text{は積分定数} ) \end{align}\] これを用いれば \[\begin{align} S(n)+V(n) & = \pi \displaystyle\int _ {e^n}^{e^{2n}} \left( \log x \right)^2 \, dx \\ & = \pi \left[ x \left\{ \left( \log x \right)^2 -2 \log x +2 \right\} \right] _ {e^n}^{e^{2n}} \\ & = \pi \left\{ e^{2n} \left( 4n^2-4n+2 \right) -e^n \left( n^2-2n+2 \right) \right\} \end{align}\] したがって \[\begin{align} \dfrac{S(n)+V(n)}{V(n)} & = \dfrac{e^{2n} \left( 4n^2-4n+2 \right) -e^n \left( n^2-2n+2 \right)}{\dfrac{7}{3} n^2 e^n \left( e^n-1 \right)} \\ & =\dfrac{4 -\dfrac{4}{n} +\dfrac{2}{n^2} -e^{-n} \left( 1 -\dfrac{2}{n} +\dfrac{2}{n^2} \right)}{\dfrac{7}{3} \left( 1 -e^{-n} \right)} \\ & \rightarrow \dfrac{12}{7} \quad ( \ n \rightarrow \infty \text{のとき} ) \end{align}\] よって \[ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \dfrac{S _ n}{V _ n} = \dfrac{12}{7} -1 = \underline{\dfrac{5}{7}} \]