四面体 \(OABC\) において, 次が満たされているとする. \[ \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{OA} \] 点 \(A , B , C\) を通る平面を \(\alpha\) とする. 点 \(O\) を通り平面 \(\alpha\) と直交する直線と平面 \(\alpha\) との交点を \(H\) とする.
(1) \(\overrightarrow{OA}\) と \(\overrightarrow{BC}\) は垂直であることを示せ.
(2) 点 \(H\) は \(\triangle ABC\) の垂心であること, すなわち \(\overrightarrow{AH} \perp \overrightarrow{BC}\) , \(\overrightarrow{BH} \perp \overrightarrow{CA}\) , \(\overrightarrow{CH} \perp \overrightarrow{AB}\) を示せ.
(3) \(\left| \overrightarrow{OA} \right| = \left| \overrightarrow{OB} \right| = \left| \overrightarrow{OC} \right| = 2\) , \(\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{OA} =1\) とする. このとき, \(\triangle ABC\) の各辺の長さおよび線分 \(OH\) の長さを求めよ.
【 解 答 】
(1)
\[\begin{align} \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{BC} & = \overrightarrow{OA} \cdot \left( \overrightarrow{OC} -\overrightarrow{OB} \right) \\ & =\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC} -\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 0 \end{align}\] よって \[ \overrightarrow{OA} \perp \overrightarrow{BC} \]
(2)
(1) と同様にすれば \[ \overrightarrow{OB} \perp \overrightarrow{CA} , \ \overrightarrow{OC} \perp \overrightarrow{AB} \quad ... [1] \] また, 条件より \[ \overrightarrow{OH} \perp \overrightarrow{AB} , \ \overrightarrow{OH} \perp \overrightarrow{BC} , \ \overrightarrow{OH} \perp \overrightarrow{CA} \quad ... [2] \] これを用いれば \[\begin{align} \overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{BC} & = \left( \overrightarrow{OH} -\overrightarrow{OA} \right) \cdot \overrightarrow{BC} \\ & = \overrightarrow{OH} \cdot \overrightarrow{BC} -\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{BC} = 0 \\ \text{∴} \quad & \overrightarrow{AH} \perp \overrightarrow{BC} \end{align}\] [1] [2] を用いて同様にすれば \[ \overrightarrow{BH} \perp \overrightarrow{CA} , \ \overrightarrow{CH} \perp \overrightarrow{AB} \]
(3)
\[\begin{align} \left| \overrightarrow{AB} \right| & = \sqrt{\left| \overrightarrow{OA} \right|^2 +\left| \overrightarrow{OB} \right|^2 -2 \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}} \\ & = \sqrt{4+4-2 \cdot 1} = \sqrt{6} \end{align}\] 同様にして \[ AB = BC = CA = \underline{\sqrt{6}} \] したがって, \(\triangle ABC\) は正三角形であり, 垂心 \(H\) は重心と一致するので \[ \overrightarrow{OH} = \dfrac{1}{3} \left( \overrightarrow{OA} +\overrightarrow{OB} +\overrightarrow{OC} \right) \] よって \[\begin{align} \left| \overrightarrow{OH} \right| & = \dfrac{1}{3} \sqrt{3 \left| \overrightarrow{OA} \right|^2 +3 \cdot 2 \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}} \\ & =\dfrac{1}{3} \sqrt{12+6} = \underline{\sqrt{2}} \end{align}\]