以下の問いに答えよ.
(1) 座標平面において原点のまわりに角 \(\theta\) （ \(0 \lt \theta \lt \pi\) ）だけ回転する移動を表す行列を \(A\) とする. \(A\) が等式 \(A^2 -A +E = O\) を満たすとき, \(\theta\) と \(A\) を求めよ. ただし, \(E = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)\) , \(O = \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right)\) である.
(2) 直線 \(y = \sqrt{3} x\) に関する対称移動を表す行列 \(B\) を求めよ.
(3) 直線 \(y = kx\) に関する対称移動を表す行列を \(C\) とする, (1) , (2) において求めた \(A , B\) に対して \(BC = A\) が成り立つとき, \(k\) を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\(A= \left( \begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array} \right)\) なので, ケーリー・ハミルトンの定理より \[\begin{align} 2 \cos \theta & = 1 \\ \text{∴} \quad \cos \theta & = \dfrac{1}{2} \end{align}\] \(0 \lt \theta \lt \pi\) なので \[ \theta =\underline{\dfrac{\pi}{3}} , \ A =\underline{\left( \begin{array}{cc} \dfrac{1}{2} & -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{1}{2} \end{array} \right)} \]
(2)
\(x\) 軸に関する対称移動を表す行列 \(D\) は \[ D = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right) \] また \[ A^{-1} = \left( \begin{array}{cc} \dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ -\dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{1}{2} \end{array} \right) \] よって, 求める行列 \(B\) は \[\begin{align} B & = ADA^{-1} \\ & =\left( \begin{array}{cc} \dfrac{1}{2} & -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{1}{2} \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} \dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ -\dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{1}{2} \end{array} \right) \\ & =\underline{\left( \begin{array}{cc} -\dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{1}{2} \end{array} \right)} \end{align}\]
(3)
\(k =\tan \alpha \ \left( -\dfrac{\pi}{2} \lt \alpha \lt \dfrac{\pi}{2} \right)\) とおくと, (2) と同様に考えて \[\begin{align} C & = \left( \begin{array}{cc} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{array} \right) \\ & = \left( \begin{array}{cc} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} \cos \alpha & \sin \alpha \\ \sin \alpha & -\cos \alpha \end{array} \right) \\ & = \left( \begin{array}{cc} \cos 2 \alpha & \sin 2 \alpha \\ \sin 2 \alpha & -\cos 2 \alpha \end{array} \right) \quad ... [1] \end{align}\] 対称移動の性質を考えれば, \(B^{-1} =B\) なので, \(BC=A\) より \[\begin{align} C & = B^{-1}A = BA \\ & = \left( \begin{array}{cc} -\dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{1}{2} \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} \dfrac{1}{2} & -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{1}{2} \end{array} \right) \\ & = \left( \begin{array}{cc} \dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \dfrac{\sqrt{3}}{2} & -\dfrac{1}{2} \end{array} \right) \quad ... [2] \end{align}\] [1] と [2] を比較して \[\begin{align} \cos 2 \alpha =\dfrac{1}{2} & , \ \sin 2 \alpha =\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \text{∴} \quad \alpha & = \dfrac{\pi}{6} \end{align}\] よって \[ k = \underline{\dfrac{\sqrt{3}}{3}} \]