\(f(x) , g(t)\) を \[\begin{align} f(x) & = x^3-x^2-2x+1 \\ g(t) & = \cos 3t -\cos 2t +\cos t \end{align}\] とおく.
(1) \(2 g(t) -1 = f( 2 \cos t )\) が成り立つことを示せ.
(2) \(\theta = \dfrac{\pi}{7}\) のとき, \(2 g( \theta ) \cos \theta = 1 +\cos \theta -2 g( \theta )\) が成り立つことを示せ.
(3) \(2 \cos \dfrac{\pi}{7}\) は \(3\) 次方程式 \(f(x) = 0\) の解であることを示せ.
【 解 答 】
(1)
\(2\) 倍角, \(3\) 倍角の公式を用いれば \[\begin{align} 2 g(t) -1 & = 2 ( 4 \cos^3 t -3 \cos t ) \\ & \qquad -2 ( 2 \cos^2 -1 ) +2 \cos t -1 \\ & = ( 2 \cos t )^3 -( 2 \cos t )^2 -2 ( 2 \cos t ) +1 \\ & = f ( 2 \cos t ) \end{align}\]
(2)
\(\theta = \dfrac{\pi}{7}\) のとき, \[ \cos 4 \theta = \cos ( \pi -3\theta ) = -\cos 3 \theta \] これと, 半角の公式, 積和変換の公式を用いれば \[\begin{align} 2 g( \theta ) & \cos \theta \\ & = 2 \cos 3 \theta \cos \theta -2 \cos 2 \theta \cos \theta +2 \cos^2 \theta \\ & = \cos 4 \theta +\cos 2 \theta -\cos 3 \theta -\cos \theta +\cos 2 \theta +1 \\ & = -2 \cos 3 \theta +2 \cos 2 \theta -\cos \theta +1 \\ & = 1 +\cos \theta -2 ( \cos 3 \theta -2 \cos 2 \theta +\cos \theta ) \\ & = 1 +\cos \theta -2 g( \theta ) \end{align}\]
(3)
(2) の結果より \[ \left( \cos \dfrac{\pi}{7} +1 \right) \left( 2g \left( \dfrac{\pi}{7} \right) -1 \right) = 0 \] \(\cos \dfrac{\pi}{7} \neq 1\) なので \[ 2g \left( \dfrac{\pi}{7} \right) -1 = 0 \quad ... [1] \] (1) の結果に \(t = \dfrac{\pi}{7}\) を代入して, [1] を用いれば \[ f \left( 2 \cos \dfrac{\pi}{7} \right) = 2g \left( \dfrac{\pi}{7} \right) -1 = 0 \] よって, \(x = \cos \dfrac{\pi}{7}\) は \(f(x) = 0\) の解である.