\(n\) は自然数とする.
(1) \(1 \leqq k \leqq n\) を満たす自然数 \(k\) に対して \[ \displaystyle\int _ {\frac{k-1}{2n} \pi}^{\frac{k}{2n} \pi} \sin 2nt \cos t \, dt = (-1)^{k+1} \dfrac{2n}{4n^2-1} \left( \cos \dfrac{k}{2n} \pi +\cos \dfrac{k-1}{2n} \pi \right) \] が成り立つことを示せ.
(2) 媒介変数 \(t\) によって \[ x = \sin t , \ y = \sin 2nt \ （ 0 \leqq t \leqq \pi ） \] と表される曲線 \(C _ n\) で囲まれた部分の面積 \(S _ n\) を求めよ. ただし必要なら \[ \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n-1} \cos \dfrac{k}{2n} \pi = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{\tan \frac{\pi}{4n}} -1 \right) \quad ( n \geqq 2 ) \] を用いてもよい.
(3) 極限値 \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} S _ n\) を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\(f(x) = \sin 2nx \cos x\) , \(F(x) = \displaystyle\int f(x) \, dx\) とおく.
\[
f(x) = \dfrac{1}{2} \left\{ \sin (2n+1)x +\sin (2n-1)x \right\}
\]
なので
\[
F(x) = -\dfrac{1}{2} \left\{ \dfrac{\cos (2n+1)x}{2n+1} +\dfrac{\cos (2n-1)x}{2n-1}\right\}+C \quad ... [1]
\]
ただし, \(C\) は積分定数.
続いて, \(\cos k \pi = (-1)^k\) , \(\sin k \pi = 0\) であることを用いれば, 加法定理より
\[\begin{align}
\cos \left( k \pi +\dfrac{k}{m} \pi \right) & = \cos k \pi \cos \dfrac{k}{m} \pi \\
& = (-1)^k \cos \dfrac{k}{m} \pi \quad ... [2] , \\
\cos \left( k \pi -\dfrac{k}{m} \pi \right) & = \cos k \pi \cos \left( -\dfrac{k}{m} \pi \right) \\
& = (-1)^{k+1} \cos \dfrac{k}{m} \pi \quad ... [3]
\end{align}\]
ただし, ここで \(m , k\) は自然数で \(1 \leqq k \leqq m\) をみたしている.
したがって, [1] ～ [3] を用いれば
\[\begin{align}
\displaystyle\int _ {\frac{k-1}{2n} \pi}^{\frac{k}{2n} \pi} & \sin 2nt \cos t \, dt \\
& = F \left( \dfrac{k \pi}{2n} \right) -F \left( \dfrac{(k-1) \pi}{2n} \right) \\
& = -\dfrac{1}{2} \left\{ \dfrac{(-1)^k \cos \frac{k \pi}{2n}}{2n+1} +\dfrac{(-1)^{k+1} \cos \frac{k \pi}{2n}}{2n-1} \right\} \\
& \hspace{2em} +\dfrac{1}{2} \left\{ \dfrac{(-1)^k \cos \frac{(k-1) \pi}{2n}}{2n+1} +\dfrac{(-1)^{k+1} \cos \frac{(k-1) \pi}{2n}}{2n-1} \right\} \\
& = \dfrac{(-1)^{k+1}}{2} \left( \dfrac{1}{2n+1} +\dfrac{1}{2n-1} \right) \left( \cos \dfrac{k}{2n} \pi +\cos \dfrac{k-1}{2n} \pi \right) \\
& = (-1)^{k+1} \dfrac{2n}{4n^2-1} \left( \cos \dfrac{k}{2n} \pi +\cos \dfrac{k-1}{2n} \pi \right)
\end{align}\]
(2)
\(x(t) = \sin t\) , \(y(t) = \sin 2nt \ ( 0 \leqq t \leqq \pi )\) とおく.
\[\begin{align}
x( \pi -t ) & = \sin t = x(t) , \\
y( \pi -t ) & = \sin (-2nt) = -\sin 2nt = -y(t) \\
\end{align}\]
なので, \(C\) は \(x\) 軸について対称である.
さらに \(0 \leqq t \leqq \dfrac{\pi}{2}\) において
\[
x'(t) = \cos t \geqq 0
\]
なので, \(C\) のうち \(0 \leqq t \leqq \dfrac{\pi}{2}\) の部分が表す曲線 \(C'\) とおくと, \(C'\) は自身との交点をもたず, \(x\) 軸が囲む部分の面積を \(S'\) とおけば
\[
S = 2 S' \quad ... [4]
\]
\(y(t) = 0\) をとくと
\[
t = \dfrac{k \pi}{2n} \quad ( k = 0 , 1 , \cdots , n )
\]
なので, (1) の結果を用いれば
\[\begin{align}
S' & = \textstyle\sum\limits _ {k=1}^n \displaystyle\int _ {\sin \frac{k-1}{2n} \pi}^{\sin \frac{k}{2n} \pi} |y| \, dx \\
& = \textstyle\sum\limits _ {k=1}^n \displaystyle\int _ {\frac{k-1}{2n} \pi}^{\frac{k}{2n} \pi} | y(t) | x'(t) \, dt \\
& = \textstyle\sum\limits _ {k=1}^n \displaystyle\int _ {\frac{k-1}{2n} \pi}^{\frac{k}{2n} \pi} \left| \sin 2nt \cos t \right| \, dt \ （ ∵ \cos t \geqq 0 ）\\
& = \textstyle\sum\limits _ {k=1}^n \dfrac{2n}{4n^2-1} \left( \cos \dfrac{k}{2n} \pi +\cos \dfrac{k-1}{2n} \pi \right) \\
& = \dfrac{2n}{4n^2-1} \left( \cos 0 +2 \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n-1} \cos \dfrac{k}{2n} \pi +\cos \dfrac{\pi}{2} \right) \\
& = \dfrac{2n}{4n^2-1} \left( 1 +\dfrac{1}{\tan \frac{\pi}{4n}} -1 +0 \right) \\
& = \dfrac{2n}{( 4n^2-1 ) \tan \frac{\pi}{4n}}
\end{align}\]
よって, [4] より
\[
S = 2S' = \underline{\dfrac{4n}{( 4n^2-1 ) \tan \frac{\pi}{4n}}}
\]
(3)
\[\begin{align} S & = \dfrac{16n^2 \cos \frac{\pi}{4n}}{\pi ( 4n^2-1 )} \cdot \dfrac{1}{\frac{4n}{\pi} \sin \frac{\pi}{4n}} \\ & = \dfrac{16 \cos \frac{\pi}{4n}}{\pi \left( 4-\frac{1}{n^2} \right)} \cdot \dfrac{1}{\frac{4n}{\pi} \sin \frac{\pi}{4n}} \\ & \rightarrow \dfrac{16 \cdot 1}{\pi (4-0)} \cdot \dfrac{1}{1} \quad ( n \rightarrow \infty \text{のとき} ) \\ & = \dfrac{4}{\pi} \end{align}\] よって \[ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} S _ n = \underline{\dfrac{4}{\pi}} \]