楕円 \(C : \ \dfrac{x^2}{16} +\dfrac{y^2}{9} = 1\) の, 直線 \(y = mx\) と平行な \(2\) 接線を \(\ell _ 1 , \ell' _ 1\) とし, \(\ell _ 1 , \ell' _ 1\) に直交する \(C\) の \(2\) 接線を \(\ell _ 2 , \ell' _ 2\) とする.
(1) \(\ell _ 1 , \ell' _ 1\) の方程式を \(m\) を用いて表せ.
(2) \(\ell _ 1\) と \(\ell' _ 1\) の距離 \(d _ 1\) および \(\ell _ 2\) と \(\ell' _ 2\) の距離 \(d _ 2\) をそれぞれ \(m\) を用いて表せ. ただし, 平行な \(2\) 直線 \(\ell , \ell'\) の距離 \(d\) とは, \(\ell\) 上の \(1\) 点と直線 \(\ell'\) の距離である.
(3) \((d _ 1)^2+(d _ 2)^2\) は \(m\) によらず一定であることを示せ.
(4) \(\ell _ 1 , \ell' _ 1 , \ell _ 2 , \ell' _ 2\) で囲まれる長方形の面積 \(S\) を \(d _ 1\) を用いて表せ. さらに \(m\) が変化するとき, \(S\) の最大値を求めよ.
【 解 答 】
(1)
直線 \(\ell _ 1 : \ y = mx+n\) とおく.
楕円 \(C\) の式と直線 \(\ell _ 1\) の式から, \(y\) を消去すると
\[\begin{gather}
9x^2 +16(mx+n)^2 = 144 \\
\text{∴} \quad ( 16m^2+9 )x^2 +32mnx +16( n^2-9 ) = 0
\end{gather}\]
この \(x\) の \(2\) 次方程式が, 重解をもてば \(C\) と \(\ell _ 1\) が接するので, 判別式 \(D\) について
\[\begin{gather}
\dfrac{D}{4} = (16mn)^2 -16 ( 16m^2+9 ) ( n^2-9 ) = 0 \\
n^2 -16 m^2 -9 = 0 \\
\text{∴} \quad n = \pm \sqrt{16m^2+9}
\end{gather}\]
よって, \(\ell _ 1 , {\ell _ 1}'\) の式は
\[
\underline{y = mx \pm \sqrt{16m^2+9}}
\]
(2)
\(\ell _ 1\) 上の点 \(\left( t , mt +\sqrt{16m^2+9} \right)\) と \({\ell _ 1}'\) との距離を求めればよいので
\[\begin{align}
d _ 1 & = \dfrac{\left| -2 \sqrt{16m^2+9} \right|}{\sqrt{m^2+1}} \\
& = \underline{\dfrac{2 \sqrt{16m^2+9}}{\sqrt{m^2+1}}} \quad ... [1]
\end{align}\]
\(\ell _ 1 \perp \ell _ 2\) なので, \(\ell _ 2\) の傾きは \(-\dfrac{1}{m}\) である.
\(\ell _ 2 , {\ell _ 2}'\) についても \(\ell _ 1 , {\ell _ 1}'\) と同様に考えることができ, [1] において \(m \rightarrow -\dfrac{1}{m}\) と置換えれば
\[\begin{align}
d _ 2 & = \dfrac{2 \sqrt{16 \left( -\frac{1}{m} \right)^2+9}}{\sqrt{\left( -\frac{1}{m} \right)^2 +1}} \\
& = \underline{\dfrac{2 \sqrt{9m^2+16}}{\sqrt{m^2+1}}}
\end{align}\]
(3)
(2) の結果を用いれば \[\begin{align} (d _ 1)^2 +(d _ 2)^2 & = \dfrac{4 ( 16m^2+9 )}{m^2+1} +\dfrac{4 ( 9m^2+16 )}{m^2+1} \\ & = 4 \cdot 25 = 100 \end{align}\] よって, \(m\) の値によらず一定である.
(4)
(3) の結果より
\[
d _ 2 = \sqrt{100 -(d _ 1)^2}
\]
であり, \(0 \leqq d _ 1 \leqq 10\) ... [2] である.
ゆえに
\[\begin{align}
S & = d _ 1 d _ 2 \\
& = \underline{d _ 1 \sqrt{100 -(d _ 1)^2}}
\end{align}\]
ここで, 相加相乗平均の関係を用いると
\[\begin{align}
S & \leqq \dfrac{(d _ 1)^2 +\left\{ 100 -(d _ 1)^2 \right\}}{2} \\
& = 50
\end{align}\]
等号成立は, \((a _ 1)^2 = 100 -(d _ 1)^2\) すなわち, \(d _ 1 = 5\sqrt{2}\) のときで, [2] をみたしている.
よって, \(S\) の最大値は
\[
\underline{50}
\]