\(x , y\) を相異なる正の実数とする. 数列 \(\{ a _ n \}\) を \[ a _ 1 = 0 , \ a _ {n+1} = x a _ n +y^{n+1} \quad ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \] によって定めるとき, \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} a _ n\) が有限の値に収束するような座標平面上の点 \(( x , y )\) の範囲を図示せよ.
【 解 答 】
与えられた漸化式を両辺 \(x^{n+1}\) で割ると \[ \dfrac{a _ {n+1}}{x^{n+1}} = \dfrac{a _ n}{x^n} +\left( \dfrac{y}{x} \right)^{n+1} \] したがって, \(n \geqq 2\) に対して \[\begin{align} \dfrac{a _ n}{x^n} & = \dfrac{a _ 1}{x} +\displaystyle\sum _ {k=1}^{n-1} \left( \dfrac{y}{x} \right)^{k+1} \\ & = \dfrac{y^2}{x^2} \cdot \dfrac{1 -\left( \frac{y}{x} \right)^{n-1}}{1 -\frac{y}{x}} \quad ( \ \text{∵} \ \dfrac{y}{x} \neq 1 \ ) \\ & = \dfrac{y^2 \left\{ 1 -\left( \frac{y}{x} \right)^{n-1} \right\}}{x(x-y)} \\ \text{∴} \quad a _ n & = \dfrac{y^2 \left( x^{n-1} -y^{n-1} \right)}{x-y} \end{align}\] したがって, \(b _ n = x^{n-1} -y^{n-1}\) とおいて, \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} b _ n\) が有限の値に収束する条件を考えればよい.
1* \(\dfrac{y}{x} \lt 1\) すなわち \(0 \lt y \lt x\) のとき \[ b _ n = x^{n-1} \left\{ 1 -\left( \dfrac{y}{x} \right)^{n-1} \right\} \] \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \left( \dfrac{y}{x} \right)^{n-1}\) なので, \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} x^{n-1}\) が有限の値に収束すればよく \[ 0 \lt y \lt x \leqq 1 \]
2* \(\dfrac{x}{y} \lt 1\) すなわち \(0 \lt x \lt y\) のとき \[ b _ n = y^{n-1} \left\{ 1 -\left( \dfrac{x}{y} \right)^{n-1} \right\} \] \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \left( \dfrac{x}{y} \right)^{n-1}\) なので, \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} y^{n-1}\) が有限の値に収束すればよく \[ 0 \lt x \lt y \leqq 1 \]
以上より, 求める範囲は下図斜線部（ただし, ○, \(x\) 軸, \(y\) 軸, 直線 \(y=x\) 上の点は除く）.
