\(p\) を \(3\) 以上の素数とする. \(4\) 個の整数 \(a , b , c , d\) が次の \(3\) 条件 \[ a+b+c+d = 0 , \ ad-bc+p = 0 , \ a \geqq b \geqq c \geqq d \] を満たすとき, \(a , b , c , d\) を \(p\) を用いて表せ.
【 解 答 】
\(a+b+c+d = 0\) より \[ d = -(a+b+c) \quad ... [1] \] これを \(ad-bc+p = 0\) に代入すると \[\begin{align} -a (a+b+c) -bc +p & = 0 \\ \text{∴} \quad (a+b)(a+c) & = p \end{align}\] \(a+b \geqq a+c\) なので \[ ( a+b , a+c ) = (-1 , -p ) , \, ( p , 1 ) \]
1* \(( a+b , a+c ) = ( -1 , -p )\) のとき \[ b = -1-a , \ c = -p-a \] したがって \[ d = - ( a -1-a -p-a ) = a+p+1 \] しかし, これは \(a \geqq d\) に矛盾するため不適.
2* \(( a+b , a+c ) = ( p , 1 )\) のとき \[ b = p-a , \ c = 1-a \quad ... [2] \] したがって \[ d = - ( a +p-a +1-a ) = a-p-1 \quad ... [3] \] \(a \geqq b\) より \[\begin{align} a & \geqq p-a \\ \text{∴} \quad a & \geqq \dfrac{p}{2} \quad ... [4] \end{align}\] \(c \geqq d\) より, \[\begin{align} 1-a & \geqq a-p-1 \\ \text{∴} \quad a & \leqq \dfrac{p}{2} +1 \quad ... [5] \end{align}\] \(p\) は奇数, \(a\) は整数なので, [4] [5] より \[ a = \dfrac{p+1}{2} \] [2] [3] より \[ b = \dfrac{p-1}{2} , \ c = -\dfrac{p-1}{2} , \ d = -\dfrac{p+1}{2} \]
1* 2*より, 求める値は \[ ( a , b , c , d ) = \underline{\left( \dfrac{p+1}{2} , \dfrac{p-1}{2} , -\dfrac{p-1}{2} , -\dfrac{p+1}{2} \right)} \]