点 O を中心とする円に内接する △ABC の \(3\) 辺 AB, BC, CA をそれぞれ \(2 : 3\) に内分する点を P, Q, R とする. △PQR の外心が点 O と一致するとき, △ABC はどのような三角形か.
【 解 答 】
\(\overrightarrow{a} = \overrightarrow{\text{OA}} , \ \overrightarrow{b} = \overrightarrow{\text{OB}} , \ \overrightarrow{c} = \overrightarrow{\text{OC}}\) とおくと
\[
\left| \overrightarrow{a} \right| = \left| \overrightarrow{b} \right| = \left| \overrightarrow{c} \right| = k \quad ( k \gt 0 )
\]
とおける.
P は AB を \(2 : 3\) に内分するので
\[
\overrightarrow{\text{OP}} = \dfrac{3 \overrightarrow{a} +2 \overrightarrow{b}}{5}
\]
したがって
\[\begin{align}
\left| \overrightarrow{\text{OP}} \right|^2 & = \dfrac{9}{25} \left| \overrightarrow{a} \right|^2 +\dfrac{12}{25} + \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} + \dfrac{4}{25} \left| \overrightarrow{b} \right|^2 \\
& = \dfrac{12 \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} +13k^2}{25} \quad ... [1]
\end{align}\]
同様にすれば
\[\begin{align}
\left| \overrightarrow{\text{OQ}} \right|^2 & = \dfrac{12 \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} +13k^2}{25} \quad ... [2] , \\
\left| \overrightarrow{\text{OR}} \right|^2 & = \dfrac{12 \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} +13k^2}{25} \quad ... [3]
\end{align}\]
△PQR の外心が点 O となるので
\[
\left| \overrightarrow{\text{OP}} \right| = \left| \overrightarrow{\text{OQ}} \right| = \left| \overrightarrow{\text{OR}} \right|
\]
であるから, [1] ～ [3] より
\[
\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}
\]
この式の値を \(\ell \ ( \ell \gt 0 )\) とおく.
ここで
\[\begin{align}
\left| \overrightarrow{\text{AB}} \right|^2 & = \left| \overrightarrow{a} \right|^2 -2 \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} +\left| \overrightarrow{b} \right|^2 \\
& = 2( k -\ell )
\end{align}\]
同様に
\[\begin{align}
\left| \overrightarrow{\text{BC}} \right|^2 & = 2( k -\ell ) , \\
\left| \overrightarrow{\text{CA}} \right|^2 & = 2( k -\ell )
\end{align}\]
よって
\[
\left| \overrightarrow{\text{AB}} \right| = \left| \overrightarrow{\text{BC}} \right| = \left| \overrightarrow{\text{CA}} \right|
\]
なので, △ABC は正三角形.