\(A\) を \(2\) 次の正方行列とする. 列ベクトル \(\overrightarrow{x _ 0}\) に対し, 列ベクトル \(\overrightarrow{x _ 1} , \overrightarrow{x _ 2} , \cdots\) を \[ \overrightarrow{x _ {n+1}} = A \overrightarrow{x _ n} \quad ( n = 0, 1, 2, \cdots ) \] によって定める. ある零ベクトルではない \(\overrightarrow{x _ 0}\) について, \(3\) 以上の自然数 \(m\) で初めて \(\overrightarrow{x _ m}\) が \(\overrightarrow{x _ 0}\) と一致するとき, 行列 \(A^m\) は単位行列であることを示せ.
【 解 答 】
条件より \[ A^m \overrightarrow{x _ 0} = \overrightarrow{x _ 0} \quad ... [1] \] [1] の両辺に右から \(A\) をかければ \[\begin{align} A^{m+1} \overrightarrow{x _ 0} & = A \overrightarrow{x _ 0} \\ \text{∴} \quad A^{m} \overrightarrow{x _ 1} & = \overrightarrow{x _ 1} \quad ... [2] \end{align}\] このとき, \(\overrightarrow{x _ 0} \neq \overrightarrow{x _ 1}\)
1* \(\overrightarrow{x _ 1} = 0\) のとき
\(n \geqq 1\) に対して \(\overrightarrow{x _ n} = 0\) となり, 不適.2* \(\overrightarrow{x _ 1} = k \overrightarrow{x _ 0} \ ( k \neq 1 )\) のとき \[\begin{align} A^m \overrightarrow{x _ 0} & = k^m \overrightarrow{x _ 0} = \overrightarrow{x _ 0} \quad ( \ \text{∵} \ [1] \ ) \\ \text{∴} \quad & ( k^m -1 ) \overrightarrow{x _ 0} = 0 \end{align}\] \(\overrightarrow{x _ 0} \neq 0\) なので \[ k^m -1 = 0 \] \(m \geqq 3\) に注意すると
- \(m\) が偶数のとき
\(k=-1\) を解にもつが \(m=2\) のときも同じ解をもつため, \(\overrightarrow{x _ 0} = \overrightarrow{x _ 2}\) となり不適. - \(m\) が奇数のときは, 解なし.
- \(m\) が偶数のとき
- 3* \(\overrightarrow{x _ 0} , \overrightarrow{x _ 1}\) が \(1\) 次独立であるとき
任意の列ベクトル \(\overrightarrow{x}\) が 実数 \(p, q\) を用いて \[ \overrightarrow{x} = p \overrightarrow{x _ 0} +q \overrightarrow{x _ 1} \] と表せる. [1] [2] を用いると \[\begin{align} A^m \overrightarrow{x} & = p A^m \overrightarrow{x _ 0} +q A^m \overrightarrow{x _ 1} \\ & = p \overrightarrow{x _ 0} +q \overrightarrow{x _ 1} = \overrightarrow{x} \end{align}\] したがって, このときには \(\overrightarrow{x _ 0}\) に限らず, 任意の列ベクトル \(\overrightarrow{x}\) について \[\begin{align} A^m \overrightarrow{x} & = \overrightarrow{x} \\ \text{∴} \quad \left( A^m -E \right) \overrightarrow{x} & = 0 \\ \text{∴} \quad A^m & = E \end{align}\]
以上より, \(A^m\) は単位行列であることが示された.