すべての実数で定義され何回でも微分できる関数 \(f(x)\) が \(f(0)=0\) , \(f'(0)=1\) を満たし, さらに任意の実数 \(a , b\) に対して \(1+ f(a) f(b) \neq 0\) であって \[ f( a+b ) = \dfrac{f(a) + f(b)}{1+ f(a) f(b)} \] を満たしている.
(1) 任意の実数 \(a\) に対して, \(-1 \lt f(a) \lt 1\) であることを証明せよ.
(2) \(y = f(x)\) のグラフは \(x \gt 0\) で上に凸であることを証明せよ.
【 解 答 】
(1)
条件式に \(b = -a\) を代入すると
\[\begin{align}
f(0) = \dfrac{f(a) +f(-a)}{1 +f(a) f(-a)} & = 0 \\
f(a) +f(-a) & = 0 \\
\text{∴} \quad f(-a) = -f(a) & \quad ... [1]
\end{align}\]
また条件より
\[\begin{align}
1 +f(a) f(-a) & \neq 0 \\
1 -\left\{ f(a) \right\}^2 & \neq 0 \\
\text{∴} \quad f(a) & \neq \pm 1 \quad ... [2]
\end{align}\]
関数 \(f(x)\) はすべての実数において定義され, かつ連続であるから, \(f(0) = 0\) と [2] より, 関数 \(f(x)\) の値域は \(-1\) と \(1\) の間に含まれる.
よって, 任意の実数 \(a\) に対して
\[
-1 \lt f(a) \lt 1
\]
(2)
\(b\) を定数とみなして, \(f(a+b)\) を \(a\) について微分すると \[\begin{align} f'(a+b) & = \dfrac{f'(a) \left\{ 1 +f(b) f(a) \right\} -f(b) f'(a) \left\{ f(a) +f(b) \right\}}{\left\{ 1 +f(b) f(a) \right\}^2} \\ & = \dfrac{\left[ 1 -\left\{ f(b) \right\}^2 \right] f'(a)}{\left\{ 1 +f(b) f(a) \right\}^2} \end{align}\] これに \(b = -a\) を代入して \[\begin{align} f'(0) & = \dfrac{\left[ 1 -\left\{ f(a) \right\}^2 \right] f'(a)}{\left[ 1 -\left\{ f(a) \right\}^2 \right]^2} \\ & = \dfrac{f'(a)}{1 -\left\{ f(a) \right\}^2} = 1 \\ \text{∴} \quad f'(x) & = 1 -\left\{ f(x) \right\}^2 \quad ... [3] \end{align}\] (1) の結果より \[ f'(x) \gt 0 \quad ... [4] \] したがって, \(f(x)\) は単調増加であり, \(x \gt 0\) に対して \[ f(x) \gt f(0) = 0 \quad ... [5] \] [3] より \[ f'' (x) = -2 f'(x) f(x) \] よって, \(x \gt 0\) において, [4] [5] より \[ f'' (x) \lt 0 \] すなわち \(y = f(x)\) のグラフは上に凸である.