直線 \(y=px+q\) が関数 \(y= \log x\) のグラフと共有点を持たないために \(p\) と \(q\) が満たすべき必要十分条件を求めよ.
【 解 答 】
条件より, \(x \gt 0\) である.
以下の等式を変形すると
\[\begin{align}
px+q & = \log x \\
\text{∴} \quad px +q & -\log x = 0
\end{align}\]
したがって, \(f(x) =px +q -\log x\) のグラフが \(x\) 軸と共有点を持たない条件を求めればよい.
1* \(p \leqq 0\) のとき \[ \displaystyle\lim _ {x \rightarrow +0} f(x) = \infty , \ \displaystyle\lim _ {x \rightarrow \infty} f(x) = -\infty \] なので, 少なくとも \(1\) つの共有点をもつ.
2* \(p \gt 0\) のとき \[ f'(x) = p -\dfrac{1}{x} = \dfrac{px-1}{x} \] \(f'(x) =0\) を解くと \[ x = \dfrac{1}{p} \] また \[ \displaystyle\lim _ {x \rightarrow +0} f(x) = \infty , \ \displaystyle\lim _ {x \rightarrow \infty} f(x) = \infty \] したがって, \(f(x)\) の増減は下表のようになる. \[ \begin{array}{c|ccccc} x & (0) & \cdots & \dfrac{1}{p} & \cdots & ( \infty ) \\ \hline f'(x) & & - & 0 & + & \\ \hline f(x) & ( \infty ) & \searrow & q+1+\log p & \nearrow & ( \infty ) \end{array} \] したがって, 求める条件は \[\begin{align} f \left( \dfrac{1}{p} \right) & = q+1+\log p \gt 0 \\ \text{∴} \quad & p \gt e^{-q-1} \end{align}\] これは \(p \gt 0\) もみたしている.
1* 2*より, 求める条件は \[ \underline{p \gt e^{-q-1}} \]