定数 \(a\) は実数であるとする. 関数 \(y= | x^2-2 |\) と \(y= | 2x^2+ax-1 |\) のグラフの共有点はいくつあるか. \(a\) の値によって分類せよ.
【 解 答 】
\[\begin{align} | x^2-2 | = | 2x^2+ax-1 | & \\ \text{∴} \quad ( 2x^2+ax-1 )^2 -( x^2-2 )^2 & =0 \\ \text{∴} \quad ( 3x^2+ax-3 )( x^2+ax+1 ) & = 0 \end{align}\] したがって, \(3x^2+ax-3 =0 \quad ... [1]\) , \(x^2+ax+1 =0 \quad ... [2]\) の解の個数を考えればよい.
1* [1]の解の個数について
判別式を \(D _ 1\) とおくと \[ D _ 1 = a^2 +36 \gt 0 \] ゆえに, \(a\) の値によらず, 解を \(2\) 個もつ.2* [2]の解の個数について 判別式を \(D _ 2\) とおくと \[ D _ 2 = a^2 -4 = (a+2)(a-2) \] ゆえに, 解の個数は \[ \left\{ \begin{array}{ll} 2 & ( a \lt -2 , \ 2 \lt a \text{のとき} ) \\ 1 & ( a= \pm 2 \text{のとき} ) \\ 0 & ( -2 \lt a \lt 2 \text{のとき} ) \end{array} \right. \]
3* [1]と[2]が同じ解をもつとき
辺々を差し引くと \[\begin{align} 2x^2 -4 & = 0 \\ \text{∴} \quad x & =\pm \dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{align}\] このとき \[\begin{align} \dfrac{1}{2} \pm \dfrac{\sqrt{2} a}{2} +1 & =0 \\ \text{∴} \quad a & = \pm \dfrac{3 \sqrt{2}}{2} \end{align}\]
以上より, 共有点の個数は \[ \underline{\left\{ \begin{array}{ll} 4 & \left( a \lt -\dfrac{3 \sqrt{2}}{2} , \ -\dfrac{3 \sqrt{2}}{2} \lt a \lt -2 , \ 2 \lt a \lt \dfrac{3 \sqrt{2}}{2} , \ \dfrac{3 \sqrt{2}}{2} \lt a \text{のとき} \right) \\ 3 & \left( a= \pm 2 \text{のとき} \right) \\ 2 & \left( a =\pm \dfrac{3 \sqrt{2}}{2} , \ -2 \lt a \lt 2 \text{のとき} \right) \end{array} \right.} \]