次の式で与えられる底面の半径が \(2\) , 高さが \(1\) の円柱 \(C\) を考える. \[ C = \left\{ (x,y,z) | x^2+y^2 \leqq 4 , \ 0 \leqq z \leqq 1 \right\} \] \(xy\) 平面上の直線 \(y=1\) を含み, \(xy\) 平面と \(45^{\circ}\) の角をなす平面のうち, 点 \((0, 2, 1)\) を通るものを \(H\) とする. 円柱 \(C\) を平面 \(H\) で \(2\) つに分けるとき, 点 \((0, 2, 0)\) を含む方の体積を求めよ.

【 解 答 】

体積を求める立体 \(D\) は下図のようになる.

\(D\) の, 平面 \(x =t \ \left( -\sqrt{3} \lt t \lt \sqrt{3} \right)\) による断面は下図のようになる.

この面積を \(S(t)\) とおくと \[\begin{align} S(t) & = \dfrac{1}{2} \left( \sqrt{4-t^2} -1 \right)^2 \\ & = \dfrac{5 -t^2}{2} -\sqrt{4-t^2} \end{align}\] したがって, 求める体積 \(V\) は, 対称性を用いれば \[\begin{align} V & = 2 \displaystyle\int _ 0^{\sqrt{3}} S(t) \, dt \\ & = \underline{\displaystyle\int _ 0^{\sqrt{3}} (5-t^2) \, dt} _ {[1]} -2 \underline{\displaystyle\int _ 0^{\sqrt{3}} \sqrt{4-t^2} \, dt} _ {[2]} \end{align}\] ここで \[ [1] = \left[ 5t -\dfrac{t^3}{3} \right] _ 0^{\sqrt{3}} =4 \sqrt{3} \] また, [2] は下図斜線部の面積を表すので

\[\begin{align} [2] & = \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot 1 +\dfrac{1}{2} \cdot 2^2 \cdot \dfrac{\pi}{3} \\ & = \dfrac{\sqrt{3}}{2} +\dfrac{2 \pi}{3} \end{align}\] よって \[\begin{align} V & = 4 \sqrt{3} -2 \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} +\dfrac{2 \pi}{3} \right) \\ & =\underline{3\sqrt{3} -\dfrac{4 \pi}{3}} \end{align}\]