地球上の北緯 \(60^{\circ}\) 東経 \(135^{\circ}\) の地点を A , 北緯 \(60^{\circ}\) 東経 \(75^{\circ}\) の地点を B とする. A から B に向かう \(2\) 種類の飛行経路 \(R _ 1\) , \(R _ 2\) を考える. \(R _ 1\) は西に向かって同一緯度で飛ぶ経路とする. \(R _ 2\) は地球の大円に沿った経路のうち, 飛行距離の短い方とする. \(R _ 1\) に比べて \(R _ 2\) は飛行距離が \(3 \%\) 以上短くなることを示せ. ただし, 地球は完全な球体であるとし, 飛行機は高度 \(0\) を飛ぶものとする. また必要があれば, この冊子の \(5\) ページと \(6\) ページの三角関数表を用いよ.
注：大円とは, 球を球の中心を通る平面で切ったとき, その切り口にできる円のことである.
※ 当サイトでは, 三角関数表は省略します.

【 解 答 】

地球の半径を \(r\) とおく.
北緯 \(60^{\circ}\) の線が作る円の半径は, \(r \sin 30^{\circ} =\dfrac{r}{2}\) なので \[ R _ 1 =2 \pi \cdot \dfrac{r}{2} \cdot \dfrac{60^{\circ}}{360^{\circ}} =\dfrac{\pi r}{6} \] \(\text{AB} =\dfrac{r}{2}\) なので, 大円における弧ABの中心角を \(\alpha\) とおけば \[\begin{align} 2 r \sin \dfrac{\alpha}{2} & = \dfrac{r}{2} \\ \text{∴} \quad \sin \dfrac{\alpha}{2} & =\dfrac{1}{4} \end{align}\] 三角関数表より, \(\sin 14.5^{\circ} = 0.2504\) なので \[\begin{align} \dfrac{\alpha}{2} & \lt 14.5^{\circ} \\ \text{∴} \quad \alpha & \lt 29^{\circ} \end{align}\] したがって \[ R _ 2 \lt 2 \pi r \cdot \dfrac{29^{\circ}}{360^{\circ}} =\dfrac{29 \pi r}{180} \] よって \[ \dfrac{R _ 2}{R _ 1} \lt \dfrac{29}{30} \lt 0.97 \] すなわち, 題意は示された.