\(xyz\) 空間で O \((0, 0, 0)\) , A \((3, 0, 0)\) , B \((3, 2, 0)\) , C \((0, 2, 0)\) , D \((0, 0, 4)\) , E \((3, 0, 4)\) , F \((3, 2, 4)\) , G \((0, 2, 4)\) を頂点とする直方体 OABC-DEFG を考える. 辺 AE を \(s : 1-s\) に内分する点を P , 辺 CG を \(t : 1-t\) に内分する点を Q とおく. ただし, \(0 \lt s \lt 1\) , \(0 \lt t \lt 1\) とする. D を通り, O, P, Q を含む平面に垂直な直線が線分 AC （両端を含む）と交わるような \(s , t\) のみたす条件を求めよ.

【 解 答 】

D を通り, 平面 OPQ に垂直な直線を \(\ell\) とし, \(\ell\) 上の点を \(( x, y, z )\) とおく.
\(\ell\) は \(\overrightarrow{\text{OP}}\) , \(\overrightarrow{\text{OQ}}\) と垂直なので \[\begin{align} \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z-4 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 4s \end{array} \right) & = 3x+4s(z-4) = 0 \quad ... [1] \\ \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z-4 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 4t \end{array} \right) & = 2y+4t(z-4) = 0 \quad ... [2] \end{align}\] \(z=0\) 平面との交点は \[\begin{align} & \left\{ \begin{array}{l} 3x-16s = 0 \\ 2y-16t = 0 \end{array} \right. \\ & \qquad \text{∴} \quad x = \dfrac{16s}{3} , \ y = 8t \end{align}\] これが線分 AC： \(\dfrac{x}{3} +\dfrac{y}{2}=1 \ ( 0 \leqq x \leqq 3 )\) 上にある条件が, 求める条件なので \[\begin{align} \dfrac{16s}{9} & +\dfrac{8t}{2} = 1 \ \left( 0 \leqq \dfrac{16s}{3} \leqq 3 \right) \\ \text{∴} \quad & \underline{16s+36t = 9 \ \left( 0 \leqq s \leqq \dfrac{9}{16} \right)} \end{align}\]