\(A = \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)\) を \(ad-bd = 1\) をみたす行列とする（ \(a , b , c , d\) は実数）. 自然数 \(n\) に対して平面上の点 \(\text{P} {} _ n \, \left( x _ n , y _ n \right)\) を \[ \left( \begin{array}{c} x _ n \\ y _ n \end{array} \right) = A^n \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) \] により定める. \(\overrightarrow{\text{OP} {} _ 1}\) と \(\overrightarrow{\text{OP} {} _ 2}\) の長さが \(1\) のとき, すべての \(n\) に対して \(\overrightarrow{\text{OP} {} _ n}\) の長さが \(1\) であることを示せ. ここで O は原点である.

【 解 答 】

\[ \overrightarrow{\text{OP} {} _ 1} = A \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} a \\ c \end{array} \right) \] なので, 条件より \[ a^2+c^2=1 \quad ... [1] \] ハミルトン・ケーリーの定理より, \[ A^2 = (a-d) A -E \quad ... [2] \] これを用いれば \[ \overrightarrow{\text{OP} {} _ 2} = \left\{ (a-d) A -E \right\} \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} a(a-d)-1 \\ c(a-d) \end{array} \right) \] なので, 条件より \[\begin{align} \left\{ a(a-d)-1 \right\}^2 +c^2(a-d)^2 & =1 \\ (a-d)^2(a^2+c^2) -2a(a-d) & =0 \\ \text{∴} \quad (a-d)(a+d) & =0 \quad ( \ \text{∵} \ [1] \end{align}\]

1. 1*　\(a-d=0\) のとき
   [2]より \[ A^2 =-E \] したがって \[ \left( \begin{array}{c} x _ {n+2} \\ y _ {n+2} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -x _ n \\ -y _ n \end{array} \right) \] なので, \({x _ n}^2+{y _ n}^2=1\) ならば \[ {x _ {n+2}}^2 +{y _ {n+2}}^2 =1 \] これと, 条件より \(\text{OP} {} _ 1 =1\) , \(\text{OP} {} _ 2 =1\) なので,
   帰納的にすべての \(n\) について, \(\text{OP} {} _ n =1\) .

2. 2*　\(a+d=0\) のとき
   \(a-d=2a\) なので, [2]より \[ A^2 =2aA -E \] したがって \[ \left( \begin{array}{c} x _ {n+2} \\ y _ {n+2} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2ax _ {n+1}-x _ n \\ 2ay _ {n+1}-y _ n \end{array} \right) \] なので, \({x _ {n+1}}^2+{y _ {n+1}}^2=1\) , \({x _ n}^2+{y _ n}^2=1\) ならば \[\begin{align} {x _ {n+2}}^2 +{y _ {n+2}}^2 & = \left( 2ax _ {n+1}-x _ n \right)^2 +\left( 2ay _ {n+1}-y _ n \right)^2 \\ & = 4a^2+1 -4a \left( x _ {n+1} x _ n +y _ n y _ {n+1} \right) \end{align}\] さらに \(x _ {n+1} x _ n +y _ n y _ {n+1} =a\) と仮定すれば \[ {x _ {n+2}}^2 +{y _ {n+2}}^2 = 1 \] これと, 条件より \(\text{OP} {} _ 1 =1\) , \(\text{OP} {} _ 2 =1\) , さらに \[\begin{align} x _ 1 x _ 2 +y _ 1 y _ 2 & = a(2a^2-1) +c \cdot 2ac \\ & = 2a \left( a^2+c^2 \right) -a =a \quad ( \ \text{∵} \ [1] \end{align}\] なので, 帰納的にすべての \(n\) について, \(\text{OP} {} _ n =1\) .

1* 2*より, 題意は示された.