\(xy\) 平面上で原点を極, \(x\) 軸の正の方向を始線とする極座標に関して, 極方程式 \(r = 2 +\cos \theta \quad \left( 0 \leqq \theta \leqq \pi \right)\) により表される曲線を \(C\) とする. \(C\) と \(x\) 軸とで囲まれた図形を \(x\) 軸のまわりに \(1\) 回転して得られる立体の体積を求めよ.

【 解 答 】

\(C\) の概形は上図のようになる. \[\begin{align} x & = r \cos \theta =2 \cos \theta +\cos^2 \theta \\ y & = r \sin \theta =2 \sin \theta +\sin \theta \cos \theta \end{align}\] なので \[ \dfrac{dx}{d \theta} = -2 \sin \theta -2 \cos \theta \sin \theta \] したがって, 求める体積 \(V\) は \[\begin{align} V & = \pi \displaystyle\int _ {-1}^3 y^2 \, dx \\ & =\pi \displaystyle\int _ {\pi}^0 \left( 2 \sin \theta +\sin \theta \cos \theta \right)^2 \left( -2 \sin \theta -2 \cos \theta \sin \theta \right) d \theta \\ & =-2 \pi \displaystyle\int _ \pi^{0} \sin^3 \theta \left( 2 +\cos \theta \right)^2 \left( 1 +\cos \theta \right) d \theta \\ & =2 \pi \displaystyle\int _ {\pi}^{0} \left( 1- \cos^2 \theta \right) \left( 2 +\cos \theta \right)^2 \left( 1 +\cos \theta \right) \left( - \sin \theta \right) d \theta \end{align}\] ここで, \(t= \cos \theta\) とおくと \[\begin{gather} dt = -\sin \theta \, d \theta , \\ \begin{array}{c|ccc} \theta & \pi & \rightarrow & 0 \\ \hline t & -1 & \rightarrow & 1 \end{array} \end{gather}\] なので \[\begin{align} V & = 2\pi \displaystyle\int _ {-1}^1 (1-t^2)(2+t)^2(1+t) \, dt \\ & = 2\pi \displaystyle\int _ {-1}^1 \left( -t^5-5t^4-7t^3+t^2+8t+4 \right) dt\ \\ & = 4\pi \displaystyle\int _ 0^1 \left( -5t^4+t^2+4 \right) dt \\ & = 4\pi \left[ -t^5 +\dfrac{t^3}{3} +4t \right] _ 0^1 \\ & = \underline{\dfrac{40 \pi}{3}} \end{align}\]