次の問いに答えよ.
(1) \(n\) を正の整数, \(a = 2^n\) とする. \(3^a-1\) は \(2^{n+2}\) で割り切れるが \(2^{n+3}\) では割り切れないことを示せ.
(2) \(m\) を正の偶数とする. \(3^m-1\) が \(2^m\) で割り切れるならば \(m = 2\) または \(m = 4\) であることを示せ.
【 解 答 】
(1)
- [＊]：『 \(3^a-1\) は \(2^{n+2}\) で割り切れるが \(2^{n+3}\) では割り切れない 』
1* \(n=1\) のとき \[ 3^a -1 = 3^2 -1 = 8 = 2^3 \] なので \(n=1\) のとき, [＊] は成立する.
2* \(n=k \ ( k \geqq 1 )\) のとき [＊] が成立する, すなわち \[ 3^{2^k}-1 = 2^{k+2} M \quad ( M \text{は奇数} ) \quad ... [1] \] と仮定する.
このとき \[\begin{align} 3^{2^{k+1}}-1 & = 3^{2^k \cdot 2} -1 \\ & = \left( 3^{2^k} -1 \right) \left( 3^{2^k} +1 \right) \\ & = 2^{k+2} M \cdot \left( 2^{k+2} M +2 \right) \quad ( \ \text{∵} \ [1] \ ) \\ & = 2^{k+2} M \cdot 2 \left( 2^{k+1} M +1 \right) \\ & = 2^{k+3} M \left( 2^{k+1} M +1 \right) \quad ... [2] \end{align}\] \(M\) , \(2^{k+1} M +1\) はともに奇数なので, [2] は \(2^{k+3}\) で割り切れるが, \(2^{k+4}\) では割り切れない.
したがって, \(n =k+1\) のときも [＊] が成立する.
1* 2*より, 題意は示された.
(2)
\(m = 2^{\ell} L\) （ \(L\) は奇数）とおく. \[\begin{align} 3^m -1 & = 3^{2^{\ell} L} -1 = \left( 3^{2^{\ell}} \right)^L -1 \\ & = \underline{ \left( 3^{2^{\ell}} -1 \right) } _ {[A]} \underline{ \left\{ \left( 3^{2^{\ell}} \right)^{L-1} + \cdots +3^{2^{\ell}} +1 \right\} } _ {[B]} \end{align}\]
(1) の結果より, 下線部 [A] は \(2^{\ell +2}\) で割り切れるが, \(2^{\ell +3}\) では割り切れない.
また, 下線部 [B] は \(3\) の累乗の \(L\) （奇数）個の和なので, 奇数である.
したがって, \(3^m -1 = 2^{\ell +2} I\) （ \(I\) は奇数）と表せる.
これが \(2^{m} = 2^{2^{\ell} L}\) で割り切れる条件は,
\[
\ell +2 \geqq 2^{\ell} L \quad... [4]
\]
\(\ell \geqq 3\) のとき
\[\begin{align}
2^{\ell} & = ( 1+1 )^{\ell} = \textstyle\sum\limits _ {i=0}^{\ell} {} _ {\ell} \text{C} {} _ i \cdot 1^i \cdot 1^{\ell -i} \\
& = 1 +\ell + \cdots +\ell +1 \gt \ell +2
\end{align}\]
なので, \(\ell = 1 , 2\) のときについて考えればよい.
1* \(\ell = 1\) のとき, [4] より \[ 3 \geqq 2^1 L \] \(L\) は奇数なので \[ L=1 \] このとき \[ m = 2^1 \cdot 1 = 2 \]
2* \(\ell = 2\) のとき, [4] より \[ 4 \geqq 2^2 L \] \(L\) は奇数なので \[ L=1 \] このとき \[ m = 2^2 \cdot 1 = 4 \]
1* 2*より, 条件を満たす \(m\) は \[ m = 2 , 4 \]