\(n\) 個のボールを \(2n\) 個の箱へ投げ入れる. 各ボールはいずれかの箱に入るものとし, どの箱に入る確率も等しいとする. どの箱にも \(1\) 個以下のボールしか入っていない確率を \(p _ n\) とする. このとき, \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \dfrac{\log p _ n}{n}\) を求めよ.

【 解 答 】

\[\begin{align} p _ n & = \dfrac{{} _ {2n}\text{P} {} _ n}{(2n)^n} \\ & = \dfrac{n}{2n} \cdot \dfrac{n+1}{2n} \cdot \cdots \cdot \dfrac{2n}{2n} \\ & = \dfrac{1}{2^n} \textstyle\prod\limits _ {k=0}^n \left( 1+\dfrac{k}{n} \right) \\ \text{∴} \quad \dfrac{\log p _ n}{n} & = \dfrac{1}{n} \textstyle\sum\limits _ {k=0}^n \log \left( 1+\dfrac{k}{n} \right) -\log2 \end{align}\] したがって, 区分求積法を用いれば \[\begin{align} \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty}\dfrac{\log p _ n}{n} & = \int _ 0^1 \log (1+x) \, dx -\log 2 \\ & = \int _ 1^2 \log x \, dx -\log 2 \\ & = \left[ x\log x \right] _ 1^2 -\int _ 1^2 x \cdot \dfrac{1}{x} \, dx -\log 2 \\ & = 2 \log 2 -0 -\left[ x \right] _ 1^2 -\log 2 \\ & = \underline{\log 2 -1} \end{align}\]