次の各問に答えよ.
(1) 箱の中に, \(1\) から \(9\) までの番号を \(1\) つずつ書いた \(9\) 枚のカードが入っている. ただし, 異なるカードには異なる番号が書かれているものとする. この箱から \(2\) 枚のカードを同時に選び, 小さいほうの数を \(X\) とする. これらのカードを箱に戻して, 再び \(2\) 枚のカードを同時に選び, 小さいほうの数を \(Y\) とする. \(X=Y\) である確率を求めよ.
(2) 定積分 \(\displaystyle\int _ 0^{\frac{1}{2}} ( x+1 ) \sqrt{1 -2x^2} \, dx\) を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\(X=k \quad ( k = 1 , 2 , \cdots , 8 )\) となる確率を \(p _ k\) とおくと \[\begin{align} p _ k & = \dfrac{{} _ {10-k} \text{C} {} _ 2 -{} _ {9-k} \text{C} {} _ 2}{{} _ 9 \text{C} {} _ 2} \\ & = \dfrac{( 10-k )( 9-k ) -( 9-k )( 8-k )}{9 \cdot 8} \\ & = \dfrac{9-k}{36} \end{align}\] \(Y=k \quad ( k = 1 , 2 , \cdots , 8 )\) となる確率も \(p _ k\) となるので, 求める確率は \[\begin{align} \textstyle\sum\limits_ {k=1}^8 {p _ k}^2 & = \dfrac{1}{6^4} \textstyle\sum\limits _ {k=1}^8 ( 9-k )^2 \\ & = \dfrac{1}{6^4} \textstyle\sum\limits _ {k=1}^8 k^2 \\ & = \dfrac{1}{6^4} \cdot \dfrac{1}{6} \cdot 8 \cdot 9 \cdot 17 \\ & = \underline{\dfrac{17}{108}} \end{align}\]
(2)
求める定積分を \(I\) とおく. \[ I = \underline{\displaystyle\int _ 0^{\frac{1}{2}} x \sqrt{1 -2x^2} \, dx} _ {[ \text{A} ]} + \underline{\displaystyle\int _ 0^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 -2x^2} \, dx} _ {[ \text{B} ]} \] [A] について \[\begin{align} [ \text{A} ] & = \dfrac{1}{4} \displaystyle\int _ 0^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 -2x^2} \, ( 2x^2 )' \, dx \\ & = \dfrac{1}{4} \left[ -\dfrac{2}{3} ( 1-2x^2 )^{\frac{3}{2}} \right] _ 0^{\frac{1}{2}} \\ & =\dfrac{1}{6} \left\{ 1 -\left( \dfrac{1}{2} \right)^{\frac{3}{2}} \right\} \\ & = \dfrac{1}{6} -\dfrac{\sqrt{2}}{24} \end{align}\] [B] について, \(u = \sqrt{2} x\) と置換すると \[\begin{align} & du = \sqrt{2} dx , \\ & \begin{array}{c|ccc} x & 0 & \rightarrow & \dfrac{1}{2} \\ \hline u & 0 & \rightarrow & \dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{array} \end{align}\] なので \[ [ \text{B} ] = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \underline{\displaystyle\int _ 0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \sqrt{1-u^2} \, du} _ {[ \text{C} ]} \] [C] は下図斜線部の面積を表すので
\[\begin{align} [ \text{B} ] & = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \left\{ \dfrac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \dfrac{\pi}{4} +\dfrac{1}{2} \left( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 \right\} \\ & = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \left( \dfrac{\pi}{8} +\dfrac{1}{4} \right) \end{align}\] よって \[\begin{align} I & = \dfrac{1}{6} -\dfrac{\sqrt{2}}{24} +\dfrac{\sqrt{2}}{2} \left( \dfrac{\pi}{8} +\dfrac{1}{4} \right) \\ & = \underline{\dfrac{1}{6} +\dfrac{\sqrt{2}}{12} +\dfrac{\sqrt{2} \pi}{16}} \end{align}\]