\(xy\) 平面上で, \(y=x\) のグラフと \(y =\left| \dfrac{3}{4} x^2 -3 \right| -2\) のグラフによって囲まれる図形の面積を求めよ.
【 解 答 】
まず \(2\) つのグラフの交点の \(x\) 座標を求める.
1* \(-2 \leqq x \leqq 2\) のとき
\(y=x\) , \(y =1 -\dfrac{3}{4} x^2\) より \[\begin{align} x = 1 -\dfrac{3}{4} & x^2 \\ 3x^2 +4x -4 & = 0 \\ ( 3x-2 )( x+2 ) & = 0 \\ \text{∴} \quad x = \dfrac{2}{3} , & -2 \end{align}\]2* \(x \lt -2 , 2 \lt x\) のとき
\(y=x\) , \(y =\dfrac{3}{4} x^2 -5\) より \[\begin{align} x = \dfrac{3}{4} x^2 & -5 \\ 3x^2 -4x -20 & = 0 \\ ( 3x-10 )( x+2 ) & = 0 \\ \text{∴} \quad x = \dfrac{10}{3} & \end{align}\]
1* 2*より, \(2\) つのグラフに囲まれる部分は下図斜線部のようになる.
したがって, 求める面積を \(S\) とおけば \[\begin{align} S & = \displaystyle\int _ {-2}^{\frac{10}{3}} \left\{ x -\left( \dfrac{3}{4} x^2 -5 \right) \right\} dx \\ & \qquad +2 \displaystyle\int _ {-2}^{\frac{2}{3}} \left\{ \left( 1 -\dfrac{3}{4} x^2 \right) -x \right\} dx \\ & \qquad -2 \displaystyle\int _ {-2}^{2} \left\{ -2 -\left( \dfrac{3}{4} x^2 -5 \right) \right\} dx \\ & = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{1}{6} \left( \dfrac{10}{3} +2 \right)^3 \\ & \qquad +2 \cdot \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{1}{6} \left( \dfrac{2}{3} +2 \right)^3 -2 \cdot \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{1}{6} \left( 2 +2 \right)^3 \\ & = \dfrac{1}{8} \left( \dfrac{16}{3} \right)^3 +\dfrac{1}{4} \left( \dfrac{8}{3} \right)^3 -\dfrac{1}{4} \cdot 4^3 \\ & = \dfrac{2 \cdot 16^2}{27} +\dfrac{2 \cdot 8^2}{27} -16 \\ & = \dfrac{640}{27} -16 = \underline{\dfrac{208}{27}} \end{align}\]