\(n\) は \(2\) 以上の整数であり, \(\dfrac{1}{2} \lt a _ j \lt 1 \quad ( j = 1, 2, \cdots, n )\) であるとき, 不等式 \[\begin{align} ( 1 -a _ 1 ) & ( 1 -a _ 2 ) \cdots ( 1 -a _ n ) \\ & \gt 1 -\left( a _ 1 +\dfrac{a _ 2}{2} + \cdots + \dfrac{a _ n}{2^{n-1}} \right) \end{align}\] が成立することを示せ.
【 解 答 】
与えられた不等式を [＊] とし, [＊] が \(2\) 以上の自然数 \(n\) について成立することを数学的帰納法を用いて示す.
1* \(n=2\) のとき \[\begin{align} & ( 1-a _ 1 )( 1-a _ 2 ) -\left\{ 1 -\left( a _ 1 +\dfrac{a _ 2}{2} \right) \right\} \\ & \qquad = a _ 1 a _ 2 -\dfrac{a _ 2}{2} = \left( a _ 1 -\dfrac{1}{2} \right) a _ 2 \gt 0 \end{align}\] したがって, \(n=2\) のときは[＊]が成立する.
2* \(n=k \quad ( k \geqq 2 )\) のとき[＊]が成立すると仮定する. \[\begin{align} S _ k & = ( 1-a _ 1 )( 1 -a _ 2 ) \cdots ( 1-a _ k ) , \\ T _ k &= 1 -\left( a _ 1 +\dfrac{a _ 2}{2} + \cdots + \dfrac{a _ k}{2^{k-1}} \right) \end{align}\] とおけば \[ S _ k \gt T _ k \] これを利用すれば \[\begin{align} S _ {k+1} -T _ {k+1} & = S _ k( 1-a _ {k+1} ) -T _ k -\dfrac{a _ {k+1}}{2^k} \\ & \gt S _ k a _ {k+1} -\dfrac{a _ {k+1}}{2^k} \\ & = \left( S _ k -\dfrac{1}{2^k} \right) a _ {k+1} \\ & \gt 0 \quad \left( \ \text{∵} \ S _ k \gt \left( 1 -\dfrac{1}{2} \right)^k = \dfrac{1}{2^k} \ \right) \end{align}\] したがって, \(n=k+1\) のときも[＊]が成立する.
1*, 2* より, 題意は示された.