\(xyz\) 空間で, 原点 O を中心とする半径 \(\sqrt{6}\) の球面 \(S\) と \(3\) 点 \(( 4 , 0 , 0 )\) , \(( 0 , 4 , 0 )\) , \(( 0 , 0 , 4 )\) を通る平面 \(\alpha\) が共有点を持つことを示し, 点 \(( x , y , z )\) がその共有点全体を動くとき, 積 \(xyz\) が取り得る値の範囲を求めよ.

【 解 答 】

\(3\) 点を通る平面の方程式は \[\begin{align} \dfrac{x}{4} +\dfrac{y}{4} +\dfrac{z}{4} & = 1 \\ \text{∴} \quad x+y+z & = 4 \quad ... [1] \end{align}\] 原点からこの平面に下ろした垂線の足を H とおくと \[ \text{OH} = \dfrac{\large| 0+0+0-4 \large|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \dfrac{4}{\sqrt{3}} \] \(\dfrac{4^2}{3} \lt 6\) より \(\text{OH} \lt \sqrt{6}\) なので, \(\alpha\) と \(S\) は共有点をもつ.
共有点は [1] と \(x^2+y^2+z^2 = 6\) を満たしているので \[\begin{align} x^2+y^2+z^2 & = ( x+y+z )^2 +2( xy+yz+zx ) \\ & = 4^2 +2( xy+yz+zx ) = 6 \\ \text{∴} & \quad xy+yz+zx = 5 \end{align}\] \(k = xyz\) とおくと, \(x , y , z\) は方程式 \(t^3 -4t^2 +5t -k = 0\) , すなわち \[ t^3 -4t^2 +5t = k \] の \(3\) つの実解である.
したがって, この方程式が \(3\) つの実解をもつ, つまり, グラフ \(u=f(t) = t^3 -4t^2 +5t \quad ... [2]\) と直線 \(u=k\) が共有点を \(3\) つ（接点は \(2\) つと数える）もつための \(k\) の条件を求めればよい.
[2] より \[ f'(t) = 3t^2 -8t +5 = ( t-1 )( 3t-5 ) \] したがって \(f(t)\) の増減表は下のようになる. \[ \begin{array}{c|ccccc} t & \cdots & 1 & \cdots & \frac{5}{3} & \cdots \\ \hline f'(t) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(t) & \nearrow & 2 & \searrow & \frac{50}{27} & \nearrow \\ \end{array} \] ゆえに, 求める範囲は, \(f\left( \dfrac{5}{3} \right) \leqq k \leqq f(1)\) , すなわち \[ \underline{\dfrac{50}{27} \leqq xyz \leqq 2} \]