次の各問に答えよ.

1. (1)　\(a\) が正の実数のとき \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \left( 1+a^n \right)^{\frac{1}{n}}\) を求めよ.

2. (2)　定積分 \(\displaystyle\int _ 1^{\sqrt{3}} \dfrac{1}{x^2} \log \sqrt{1+x^2} \, dx\) の値を求めよ.

【 解 答 】

(1)

\(I(n) =\left( 1+a^n \right)^{\frac{1}{n}}\) とおくと \[ \log I(n) =\dfrac{\log ( 1+a^n )}{n} \] \(a\) の値によって, 場合分けして考える.

1. 1*　\(0 \lt a \lt 1\) のとき
   \(n \rightarrow \infty\) のとき, \(1+a^n \rightarrow 1\) なので \[\begin{align} \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \log I(n) & = 0 \\ \text{∴} \quad \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} I(n) & = 1 \end{align}\]

2. 2*　\(a=1\) のとき
   \(n \rightarrow \infty\) のとき, \(1+a^n \rightarrow 2\) なので \[\begin{align} \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \log I(n) & = 0 \\ \text{∴} \quad \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} I(n) & = 1 \end{align}\]

3. 3*　\(a \gt 1\) のとき
   \(n \gt 1\) であれば, \(a^n \lt 1+a^n \lt a^{n+1}\) なので \[\begin{align} \dfrac{\log a^n}{n} & \lt \log I(n) \lt \dfrac{\log a^{n+1}}{n} \\ \text{∴} \quad \log a & \lt \log I(n) \lt \left( 1 +\dfrac{1}{n} \right) \log a \quad ... [1] \end{align}\] ここで \(n \rightarrow \infty\) のとき, [1] の第 \(1\) 辺と第 \(3\) 辺はともに \(\log a\) に収束するので, はさみうちの原理より \[\begin{align} \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \log I(n) & = \log a \\ \text{∴} \quad \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} I(n) & = a \end{align}\] 以上より, 求める値は \[ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} I(n) = \underline{\left\{ \begin{array}{ll} 0 & \ \left( 0 \lt a \leqq 1 \text{のとき} \right) \\ a & \ \left( a \gt 1 \text{のとき} \right) \end{array} \right.} \]

(2)

求める値を \(J\) とおく.
\(f(x) =\log \sqrt{1+x^2}\) とおくと \[ f'(x) =\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}} \cdot \dfrac{2x}{2 \sqrt{1+x^2}} =\dfrac{x}{1+x^2} \] これを用いると, 部分積分を用いて \[\begin{align} J & =\left[ -\dfrac{1}{x} \log \sqrt{1+x^2} \right] _ 1^{\sqrt{3}} +\displaystyle\int _ 1^{\sqrt{3}} \dfrac{1}{1+x^2} \, dx \\ & = \dfrac{\log 2}{2} -\dfrac{\log 2}{\sqrt{3}} +\underline{\displaystyle\int _ 1^{\sqrt{3}} \dfrac{1}{1+x^2} \, dx} _ {[1]} \end{align}\] ここで [1] について, \(x= \tan \theta\) とおくと \[ \dfrac{dx}{d \theta} =\dfrac{1}{\cos^2 \theta} \] また \(x \ : \ 1 \rightarrow \sqrt{3}\) のとき, \(\theta \ : \ \dfrac{\pi}{4} \rightarrow \dfrac{\pi}{3}\) なので \[\begin{align} [1] & = \displaystyle\int _ {\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \dfrac{1}{1+\tan^2} \cdot \dfrac{d \theta}{\cos^2 \theta} \\ & = \displaystyle\int _ {\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} d \theta =\left[ \theta \right] _ {\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} =\dfrac{\pi}{12} \end{align}\] よって \[ J =\underline{\dfrac{\pi}{12} +\left( \dfrac{1}{2} -\dfrac{\sqrt{3}}{3} \right) \log 2 } \]