正四面体 OABC において, 点 P, Q, R をそれぞれ辺 OA, OB, OC 上にとる. ただし P, Q, R は四面体 OABC の頂点とは異なるとする. △PQR が正三角形ならば, \(3\) 辺 PQ, QR, RP はそれぞれ \(3\) 辺 AB, BC, CA に平行であることを証明せよ.
【 解 答 】
正四面体の \(1\) 辺の長さを \(1\) としても一般性を失わない.
OP, OQ, OR の長さを \(p , q , r\) とおくと, 余弦定理より
\[
\text{PQ}^2 =p^2 +q^2 -2pq \cos 60^{\circ} =p^2 +q^2 -pq
\]
同様にして
\[
\text{QR}^2 =q^2 +r^2 -qr , \ \text{PR}^2 =p^2 +r^2 -pr
\]
\(\text{PQ} =\text{QR} =\text{PR}\) なので
\[\begin{align}
& \left\{ \begin{array}{l} p^2 +q^2 -pq =q^2 +r^2 -qr \\ q^2 +r^2 -qr =p^2 +r^2 -pr \end{array} \right. \\
\text{∴} \quad & \left\{ \begin{array}{ll} (p-r)(p+r-q) =0 & \ ...[1] \\ (p-q)(p+q-r) =0 & \ ...[2] \end{array} \right.
\end{align}\]
[1] より, \(p=r\) または \(q=p+r\) .
1* \(p=r\) のとき, [2]に代入して \[\begin{align} (p-q) q & = 0 \\ \text{∴} \quad p & = q \quad ( \ \text{∵} \ q \neq 0 ) \end{align}\]
2* \(q=p+r\) のとき, [2]に代入して \[ 2pq =0 \] \(p \neq 0\) , \(q \neq 0\) なので, 解なし.
以上より, [1] [2] を解くと \[ p=q=r \] よって, P, Q, Rは OA, OB, OC それぞれを \(p : (1-p)\) で内分する点なので, PQ, QR , RP はそれぞれ, AB, BC, CA と平行である.