実数 \(x , y\) が条件 \(x^2 +xy +y^2 =6\) を満たしながら動くとき \[ x^2y +xy^2 -x^2 -2xy -y^2 +x +y \] がとりうる値の範囲を求めよ.
【 解 答 】
\(P =x^2y +xy^2 -x^2 -2xy -y^2 +x +y\) とおく.
\(s=x+y\) , \(t=xy\) とおく.
\(x , y\) は方程式 \(u^2 -su +t =0\) の \(2\) つの実数解なので, 判別式 \(D\) について
\[
D =s^2 -4t \geqq 0 \quad ... [1]
\]
また, 条件より
\[\begin{align}
x^2 +xy +y^2 & = s^2 -t = 6 \\
\text{∴} \quad t & =s^2 -6 \quad ... [2]
\end{align}\]
これを [1] に代入すると
\[\begin{align}
s^2 -4 \left( s^2 -6 \right) & \geqq 0 \\
s^2 -8 & \geqq 0 \\
\text{∴} \quad -2 \sqrt{2} \leqq s & \leqq 2 \sqrt{2} \quad ... [3]
\end{align}\]
さらに
\[\begin{align}
P & = st -s^2 +s =s \left( s^2 -6 \right) -s^2 +s \\
& = s^3 -s^2 -5s
\end{align}\]
これを \(f(s)\) とおいて
\[
f'(s) =3s^2 -2s -5 =(3s-5)(s+1)
\]
\(f'(s)=0\) をとくと
\[
s = -1 , \dfrac{5}{3}
\]
また
\[\begin{align}
f \left( -2 \sqrt{2} \right) & = -16 \sqrt{2} -8 +10 \sqrt{2} \\
& = -8 -6 \sqrt{2} , \\
f (-1) & = -1 -1 +5 =3 , \\
f \left( \dfrac{5}{3} \right) & = \dfrac{125}{27} -\dfrac{25}{9} -\dfrac{25}{3} =-\dfrac{175}{27} , \\
f \left( 2 \sqrt{2} \right) & = 16 \sqrt{2} -8 -10 \sqrt{2} \\
& = -8 +6 \sqrt{2}
\end{align}\]
したがって, 範囲 [3] における \(f(s)\) の増減は, 下表のとおり.
\[
\begin{array}{c|ccccccc} s & -2 \sqrt{2} & \cdots & -1 & \cdots & \dfrac{5}{3} & \cdots & 2 \sqrt{2} \\ \hline f'(s) & & + & 0 & - & 0 & + & \\ \hline f(s) & -8 -6 \sqrt{2} & \nearrow & 3 & \searrow & -\dfrac{175}{27} & \nearrow & -8 +6 \sqrt{2} \end{array}
\]
ここで
\[\begin{align}
f \left( \dfrac{5}{3} \right) & \gt -6 \gt f \left( -2 \sqrt{2} \right) , \\
f \left( 2 \sqrt{2} \right) & \lt -8 +6 \cdot 1.5 =1 \lt f(-1)
\end{align}\]
なので, よって \(P\) のとりうる値の範囲は
\[
\underline{-8 -6 \sqrt{2} \leqq P \leqq 3}
\]