(1) \(\sqrt[3]{2}\) が無理数であることを証明せよ.
(2) \(P(x)\) は有理数を係数とする \(x\) の多項式で, \(P( \sqrt[3]{2} ) =0\) を満たしているとする. このとき \(P(x)\) は \(x^3-2\) で割り切れることを証明せよ.
【 解 答 】
(1)
\(\sqrt[3]{2}\) は有理数であると仮定すると, 互いに素な自然数 \(m\) , \(n\) を用いて \(\sqrt[3]{2} =\dfrac{m}{n} \quad ... [1]\) と表せる.
[1] より
\[
2 n^3 =m^3 \quad ... [2]
\]
\(m\) と \(n\) は互いに素なので, \(m\) は偶数であり, \(m =2 m'\) （ \(m'\) は自然数）とおける.
これを [2] に代入すると
\[\begin{align}
2 n^3 & =8 {m'}^3 \\
\text{∴} \quad n^3 & =4 {m'}^3
\end{align}\]
\(m\) と \(n\) は互いに素なので, \(n\) も偶数となるが, これは \(m\) と \(n\) が \(2\) を公約数にもつことになるので, 矛盾している.
よって, \(\sqrt[3]{2}\) は無理数である.
(2)
\(P(x)\) を \(x^3-2\) で割った商を \(Q(x)\) , 余りを \(ax^2+bx+c\) とおくと
\[
P(x) = (x^3-2) Q(x) +ax+bx+c
\]
と表せる.
条件より, 「 \(a , b , c\) はすべて有理数」 ... [3] である.
\(x =\sqrt[3]{2}\) を代入すると
\[
\sqrt[3]{4} a +\sqrt[3]{2} b +c =0 \quad ... [4]
\]
両辺に \(\sqrt[3]{2}\) を掛けると
\[
2a +\sqrt[3]{4} b +\sqrt[3]{2} c =0 \quad ... [5]
\]
\(\text{[4]} \times b -\text{[5]} \times a\) より
\[
\left( b^2 -ac \right) \sqrt[3]{2} +bc -2a^2 =0 \quad ... [6]
\]
\(b^2 -ac \neq 0\) と仮定すると
\[
\sqrt[3]{2} =\dfrac{2a^2-bc}{b^2 -ac}
\]
となるが, [3] より右辺は有理数なので, 矛盾する.
ゆえに
\[
b^2 -ac = 0 \quad ...[7]
\]
さらに [6] より
\[
bc -2a^2 =0 \quad ...[8]
\]
\(\text{[7]} \times b +\text{[8]} \times a\) より
\[
b^3 -2a^3 =0
\]
\(a \neq 0\) と仮定すると
\[\begin{align}
\left( \dfrac{b}{a} \right)^3 & =2 \\
\text{∴} \quad \dfrac{b}{a} & = \sqrt[3]{2}
\end{align}\]
[3] より左辺は有理数なので, 矛盾する.
ゆえに
\[
a=0
\]
[7] に代入すれば
\[
b=0
\]
[4] に代入すれば
\[
c=0
\]
よって, 余りが \(0\) になることが示された.