さいころを \(n\) 回投げて出た目を順に \(X _ 1 , X _ 2 , \cdots , X _ n\) とする. さらに \[ Y _ 1 = X _ 1 , \ Y _ k = X _ k +\dfrac{1}{Y _ {k-1}} \quad ( k =2, \cdots , n ) \] によって \(Y _ 1 , Y _ 2 , \cdots , Y _ n\) を定める. \[ \dfrac{1+\sqrt{3}}{2} \leqq Y _ n \leqq 1+\sqrt{3} \] となる確率 \(p _ n\) を求めよ.
【 解 答 】
漸化式より, \(Y _ k \geqq 1 \ ( 1 \leqq k \leqq n)\) なので \[ 0 \lt \dfrac{1}{Y _ k} \leqq 1 \] \(\dfrac{1+\sqrt{3}}{2} = 1.36 \cdots\) , \(1+\sqrt{3} = 2.73 \cdots\) なので, \(\dfrac{1+\sqrt{3}}{2} \leqq Y _ n \leqq 1+\sqrt{3}\) となるのは, \(X _ n =1 , 2\) のときに限られる.
1* \(X _ n =1\) のとき \[\begin{align} \dfrac{\sqrt{3} -1}{2} & \leqq \dfrac{1}{Y _ {n-1}} \leqq \color{red}{\sqrt{3}} \\ \text{∴} \quad 1 & \leqq Y _ {n-1} \leqq 1 +\sqrt{3} \quad ... [1] \end{align}\] なので, \(Y _ {n-1}\) が[1]の範囲にあって, \(X _ n =1\) となればよい.
2* \(X _ n =2\) のとき \[\begin{align} 0 & \lt \dfrac{1}{Y _ {n-1}} \leqq \sqrt{3} -1 \\ \text{∴} \quad & Y _ {n-1} \geqq \dfrac{1 +\sqrt{3}}{2} \quad ... [2] \end{align}\] なので, \(Y _ {n-1}\) が[2]の範囲にあって, \(X _ n =1\) となればよい.
ここで, \(1 \leqq Y _ n \leqq \dfrac{1 +\sqrt{3}}{2}\) となる確率を \(q _ n\) , \(Y _ n \geqq 1 +\sqrt{3}\) となる確率を \(r _ n\) とおく.
漸化式より, \(Y _ n\) が無理数になることはないので
\[
p _ n +q _ n +r _ n =1 \quad ... [3]
\]
1* 2*より, \(n \geqq 2\) に対して \[\begin{align} p _ n & = \dfrac{1}{6} \left( p _ {n-1} +\color{red}{q _ {n-1}} \right) +\dfrac{1}{6} \left( p _ {n-1} +r _ {n-1} \right) \\ & = \dfrac{1}{6} p _ {n-1} +\dfrac{1}{6} \quad ( \ \text{∵} \ [3] \ ) \\ \text{∴} \quad & p _ n -\dfrac{1}{5} =\dfrac{1}{6} \left( p _ {n-1} -\dfrac{1}{5} \right) \end{align}\] したがって, \(p _ 1 =\dfrac{1}{6}\) を用いれば \[ p _ n -\dfrac{1}{5} =\left( \dfrac{1}{6} \right)^{n-1} \left( \dfrac{1}{6} -\dfrac{1}{5} \right) = \color{red}{-}\dfrac{1}{30} \left( \dfrac{1}{6} \right)^{n-1} \] よって \[ p _ n =\underline{\dfrac{1}{5} \left\{ 1 \color{red}{-}\left( \dfrac{1}{6} \right)^{n} \right\}} \]
【 修正しました 】
誤りがあったため, 2012/12/30赤字の部分修正しました. ご指摘くださった清水様, ありがとうございます！
解答例への疑問
拝啓
私は年金生活者（６５歳）ですので、
無聊の日々を、
受験数学を解いて日暮ししています。
貴サイトの
簡潔な解答に感心しきりです。
京大理系’１２第六問の例解に
「誤りがあるのでは…」との思いから、
浅学を恥じつつ、質問させていただきます。
１ ６行目
（√３－１）／２≦（１／Yn-1）≦１
は、右辺＝√３になります。
計算間違いではありませんか。
２ １６行目以下
１*２*より・・・
Pn=1/6(Pn-1 + Rn-1) + ・・・
とあるのは、
Pn=1/6(Pn-1 + Qn-1) + ・・・
の、間違いではありませんか。
３ ２１行目
Pn－1/5=・・・＝1/30(1/6)^n-1
と、していますが、マイナスが落ちています。
正しくは
Pn－1/5＝－1/30(1/6)^n-1
では、ありませんか。
その結果、
求める確率Pnは
Pn=1/5{1－(1/6)^n}
と、なるのではありませんか。
ちなみに、私の解答で検算すると、
i n=1の場合
P1=1/6
ii n=2の場合
P2=7/36
が、導けて、
実際に各事象の数を求めて得た確率P1、P2に一致します。
なによりも、
貴例解の中で
２０行目
「・・・P1＝1/6・・・」
と説明されているので、
サイトに例解を書かれる段階で
ミスプリントをされたものでしょうか。
失礼をも顧みず
メールを差し上げる次第です。
年寄りに免じて
ご容赦ください。 偏屈翁 拝
清水様
サイトを管理しておりますroundownと申します。
サイトをご覧下さり、ありがとうございます。
頂いたご指摘１～３について、
まったくご指摘の通りでございます。
１については、私の単純な計算誤り、
２、３については、解答掲載時の誤記であります。
３にいたっては、最終的な解を誤ってしまっており、
軽率であったと反省しております。
再度解答内容を確認し、修正させて頂きました。
何分、数学素人のサイトですので
このような誤りが散見されるかと存じます。
また怪しげな点が見受けられましたら、
ご指摘頂けると幸甚です。