\(xy\) 平面内で, \(y\) 軸上の点 P を中心とする円 \(C\) が \(2\) つの曲線 \[ C _ 1 : \ y = \sqrt{3} \log (1+x) , \quad C _ 2 ： \ y = \sqrt{3} \log (1-x) \] とそれぞれ点 A , 点 B で接しているとする. さらに △PAB は A と B が \(y\) 軸に関して対称な位置にある正三角形であるとする. このとき \(3\) つの曲線 \(C , C _ 1 , C _ 2\) で囲まれた部分の面積を求めよ.
【 解 答 】
点 A の \(x\) 座標を \(t\) とする.
\(C _ 1\) の式を微分すると
\[
y' = \dfrac{\sqrt{3}}{1+x}
\]
直線 AP は, 点 A における曲線 \(C _ 1\) の法線であり,
△PAB が正三角形であれば, 傾きは \(-\sqrt{3}\) であるから
\[\begin{align}
-\dfrac{1+t}{\sqrt{3}} & = -\sqrt{3} \\
\text{∴} \quad t & = 2
\end{align}\]
したがって, A \(\left( 2 , \sqrt{3} \log 3 \right)\) であり, △PAB の \(1\) 辺の長さは \(4\) である.
ここで, \(C _ 1\) を \(y\) の関数とみなすと
\[\begin{align}
\dfrac{y}{\sqrt{3}} & = \log (1+x) \\
\text{∴} \quad x & = e^{\frac{y}{\sqrt{3}}} -1
\end{align}\]
これらと, 図形が \(y\) 軸について対称であることに着目すれば, 求める面積 \(S\) は
\[\begin{align}
S & = 2 \left\{ \displaystyle\int _ 0^{\sqrt{3} \log 3} \left( e^{\frac{y}{\sqrt{3}}} -1 \right) \, dy \right. \\
& \qquad \left. -\left( \dfrac{1}{2} \cdot 4^2 \cdot \dfrac{\pi}{6} -\dfrac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{3} \cdot 2 \right) \right\} \\
& = 2 \left[ \sqrt{3} e^{\frac{y}{\sqrt{3}}} -y \right] _ 0^{\sqrt{3} \log 3} \\
& \qquad -2 \left( \dfrac{4 \pi}{3} -2 \sqrt{3}\right) \\
& = 2 \left( 3 \sqrt{3} -\sqrt{3} \log 3 -\sqrt{3} \right) \\
& \qquad -\dfrac{8 \pi}{3} +4 \sqrt{3} \\
& = \underline{8 \sqrt{3} -2 \sqrt{3} \log 3 -\dfrac{8 \pi}{3}}
\end{align}\]