投げたとき表が出る確率と裏が出る確率が等しい硬貨を用意する. 数直線上に石を置き, この硬貨を投げて表が出れば数直線上で原点に関して対称な点に石を移動し, 裏が出れば数直線上で座標 \(1\) の点に関して対称な点に石を移動する.
(1) 石が座標 \(x\) の点にあるとする. \(2\) 回硬貨を投げたとき, 石が座標 \(x\) の点にある確率を求めよ.
(2) 石が原点にあるとする. \(n\) を自然数とし, \(2n\) 回硬貨を投げたとき, 石が座標 \(2n-2\) の点にある確率を求めよ.
【 解 答 】
(1)
石が座標 \(x\) の点にあるとき
表が出ると, 座標 \(x +2(0-x) = -x\) の点
裏が出ると, 座標 \(x +2(1-x) = 2-x\) の点
にそれぞれ移動する.
したがって, \(2\) 回硬貨を投げて, 石が元の点に戻るのは, 「表表」または「裏裏」と出たときである.
よって, 求める確率は
\[
2 \left( \dfrac{1}{2} \right)^2 = \underline{\dfrac{1}{2}}
\]
(2)
石が座標 \(x\) の点にある場合に, 硬貨を \(2\) 回投げたとき,
「表裏」と出ると, 座標 \(2-(-x) = x+2\) の点
「裏表」と出ると, 座標 \(-(2-x) = x-2\) の点
にそれぞれ移動する.
したがって, \(2n\) 回硬貨を投げて座標 \(2n-2\) の点に達するのは「表裏」の組が \(n-1\) 回, 「表表」または「裏裏」の組が \(1\) 回出ればよい.
よって, 求める確率は
\[
{} _ {n} \text{C} {} _ 1 \cdot \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{4} \right)^{n-1} = \underline{\dfrac{n}{2^{2n-1}}}
\]