$2$ つの粒子が時刻 $0$ において △ABC の頂点 A に位置している. これらの粒子は独立に運動し, それぞれ $1$ 秒ごとに隣の頂点に等確率で移動していくとする. たとえば, ある時刻で点 C にいる粒子は, その $1$ 秒後には点 A または点 B にそれぞれ $\dfrac{1}{2}$ の確率で移動する. この $2$ つの粒子が, 時刻 $0$ の $n$ 秒後に同じ点にいる確率 $p(n)$ を求めよ.

【 解 答 】

$p(n)$ と $p(n+1)$ の関係について考える.
時刻 $n$ における $2$ 点の位置関係に応じて, 時刻 $n+1$ に $2$ 点が同じ点にいる確率を考える.

• $2$ 点が同じ点にいる場合
  他の $2$ 頂点のいずれかに, $2$ 点ともが移動すればよいので $$ 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} $$

• $2$ 点が異なる点にいる場合
  残る $1$ 頂点に, $2$ 点ともが移動すればよいので $$ \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4} $$

以上より $$\begin{gather} p(n+1) = \dfrac{1}{2} p(n) +\dfrac{1}{4} \left( 1 -p(n) \right) = \dfrac{1}{4} +\dfrac{1}{4} p(n) \\ \therefore \quad p(n+1) -\dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{4} \left( p(n) -\dfrac{1}{3} \right) \end{gather}$$ したがって, 数列 $p(n) -\dfrac{1}{3}$ は, 初項 $p(0) -\dfrac{1}{3} = 1 -\dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}$ , 公比 $\dfrac{1}{4}$ の等比数列であり $$\begin{align} p(n) -\dfrac{1}{3} & = \dfrac{2}{3} \left( \dfrac{1}{4} \right)^n \\ \therefore \quad p(n) & = \underline{\dfrac{1}{3} +\dfrac{2}{3} \left( \dfrac{1}{4} \right)^n} \end{align}$$