△ABC は, 条件 $\angle \text{B} = 2 \angle \text{A}$ , $\text{BC} = 1$ を満たす三角形のうちで面積が最大のものであるとする. このとき, $\cos \angle \text{B}$ を求めよ.

【 解 答 】

$\angle \text{A} = \theta \ \left( 0 \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{3} \right) \quad ... \maru{1}$ とおく.
正弦定理より $$\begin{align} \dfrac{1}{\sin \theta} & = \dfrac{\text{AC}}{\sin 2 \theta} \\ \therefore \quad \text{AC} & = 2 \cos \theta \end{align}$$ なので $$\begin{align} \triangle \text{ABC} & = \dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 \cos \theta \cdot \sin \left( 2 \pi -3 \theta \right) \\ & = \cos \theta \sin 3 \theta \\ & = \dfrac{1}{2} \left\{ \sin ( 3 \theta +\theta ) +\sin ( 3 \theta -\theta ) \right\} \\ & = \dfrac{1}{2} \left( \sin 4 \theta +\sin 2 \theta \right) \end{align}$$ これを $f( \theta )$ とおけば $$\begin{align} f'( \theta ) & = 2 \cos 4 \theta +\cos 2 \theta \\ & = 2 \left( 2 \cos^2 2 \theta -1 \right) +\cos 2 \theta \\ & = 4 \cos^2 2 \theta +\cos 2 \theta -2 \\ & = 4 \left( \cos 2 \theta -\dfrac{-1 -\sqrt{33}}{8} \right) \left( \cos 2 \theta -\dfrac{-1 +\sqrt{33}}{8} \right) \end{align}$$ $\maru{1}$ より, $\cos 2 \theta \gt \cos \dfrac{2 \pi}{3} = -\dfrac{1}{2}$ なので, $\cos 2 \alpha = \dfrac{-1 +\sqrt{33}}{8}$ なる $\alpha \ \left( 0 \lt \alpha \lt \dfrac{\pi}{3} \right)$ をおけば, $f( \theta )$ の増減は下表のようになる. $$ \begin{array}{c|ccccc} \theta & (0) & \cdots & \alpha & \cdots & \left( \dfrac{\pi}{3} \right) \\ \hline f'( \theta ) & & + & 0 & - & \\ \hline f( \theta ) & & \nearrow & \text{最大} & \searrow & \end{array} $$ よって $$ \cos \angle \text{B} = \cos 2 \alpha = \underline{\dfrac{-1 +\sqrt{33}}{8}} $$