自然数 $a , b$ はどちらも $3$ で割り切れないが, $a^3 +b^3$ は $81$ で割り切れる. このような $a , b$ の組 $( a , b )$ のうち, $a^2 +b^2$ の値を最小にするものと, そのときの $a^2 +b^2$ の値を求めよ.
【 解 答 】
$$
\underline{a^3+b^3} _ {\Large\maru{1}} = \underline{(a+b)^3} _ {\Large\maru{2}} -\underline{3ab (a+b)} _ {\Large\maru{3}}
$$
$\maru{1}$ $\maru{3}$ が $3$ の倍数なので, $\maru{2}$ も $3$ の倍数である.
つまり, $a+b$ が $3$ の倍数となるので, $\maru{2}$ は $3^3 = 27$ の倍数である.
条件より, $\maru{1}$ も $27$ の倍数なので, $\maru{3}$ も $27$ の倍数である.
条件より, 「 $a , b$ はともに $3$ の倍数ではない ... $\maru{4}$ 」ので, $a+b$ は $\dfrac{27}{3} = 9$ の倍数である.
したがって, $\maru{2}$ は $9^2 = 81$ の倍数であり,
条件より, $\maru{1}$ も $81$ の倍数であるから, $\maru{3}$ も $81$ の倍数である.
ゆえに, 再度 $\maru{4}$ より, $a+b$ は $\dfrac{81}{3} = 27$ の倍数である.
$a+b = 27k$ （ $k$ は自然数 ）とおく.
対称性から $a \leqq b$ としてもよい.
$$\begin{align}
a^2+b^2 & = a^2 +(27k-a)^2 \\
& = 2a^2 -54ka +27^2k^2 \\
& = 2 \left( a -\dfrac{27k}{2} \right)^2 +\dfrac{27^2k^2}{2}
\end{align}$$
したがって, $a^2+b^2$ が最小となるのは, $k=1$ のとき.
このとき, $a$ は自然数なので
$$
a = 13 \ \text{のとき, 最小値} \ 13^2+14^2 = 365
$$
をとる.
よって, $a^2+b^2$ は
$$
(a,b) = \underline{( 13 , 14 ) , ( 14 , 13 )}
$$
のとき, 最小値 $\underline{365}$ をとる.