双曲線 $y = \dfrac{1}{x}$ の第 $1$ 象限にある部分と, 原点 O を中心とする円の第 $1$ 象限にある部分を, それぞれ $C _ 1 , C _ 2$ とする. $C _ 1$ と $C _ 2$ は $2$ つの異なる点 A, B で交わり, 点 A における $C _ 1$ の接線 $l$ と線分 OA のなす角は $\dfrac{\pi}{6}$ であるとする. このとき, $C _ 1$ と $C _ 2$ で囲まれる図形の面積を求めよ.

【 解 答 】

$C _ 1 , C _ 2$ は, 直線 $y=x$ について対称なので, A $\left( a , \dfrac{1}{a} \right)$ , B $\left( \dfrac{1}{a} , a \right) \ ( 0 \lt a \lt 1 )$ とおいてもよい.
$l$ , OA それぞれが $x$ 軸正方向となす角を $\theta _ 1 , \theta _ 2$ とおくと, 条件より $$ \theta _ 1 -\theta _ 2 = \dfrac{\pi}{6} \quad ... \maru{1} $$ $C$ の式より, $y' = -\dfrac{1}{x^2}$ なので $$ \tan \theta _ 1 = -\dfrac{1}{a^2} $$ また, 条件より $$ \tan \theta _ 2 = \dfrac{\frac{1}{a}}{a} = \dfrac{1}{a^2} \quad ... \maru{2} $$ したがって, $l$ と OA は, 直線 $x=a$ について対称なので, $\maru{1}$ を用いて $$ \theta _ 2 = \dfrac{\pi}{2} -\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5 \pi}{12} $$ $\dfrac{5 \pi}{12} = \dfrac{\pi}{4} +\dfrac{\pi}{6}$ なので, $\tan$ の加法定理より $$\begin{align} \tan \dfrac{5 \pi}{12} & = \dfrac{1 +\frac{1}{\sqrt{3}}}{1 -1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \dfrac{\sqrt{3} +1}{\sqrt{3} -1} \\ & = \dfrac{2}{\left( \sqrt{3} -1 \right)^2} = \dfrac{\left( \sqrt{3} +1 \right)^2}{2} = \dfrac{1}{2 -\sqrt{3}} \end{align}$$ ゆえに, $\maru{2}$ より $$ a = \dfrac{\sqrt{3} -1}{\sqrt{2}} , \ \dfrac{1}{a} = \dfrac{\sqrt{3} +1}{\sqrt{2}} $$ 点 A, B から $x$ 軸に下ろした垂線の足を点 A', B' とおき, $C _ 1$ と線分 AB に囲まれた部分の面積を $T$ とする.
$\triangle \text{OAA'} = \triangle \text{OBB'}$ , $\angle \text{AOB} = \dfrac{5 \pi}{12} -\dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\pi}{3}$ であることを用いれば, 求める面積 $S$ は $$\begin{align} S & = ( \text{扇形 OAB} ) -\triangle \text{OAB} +T \\ & = \dfrac{1}{2} \cdot \text{OA}^2 \cdot \dfrac{\pi}{3} -\displaystyle\int _ a^{\frac{1}{a}} \dfrac{1}{x} \, dx \\ & = \dfrac{\pi}{6} \left( a^2 +\dfrac{1}{a^2} \right) -\left[ \log x \right] _ a^{\frac{1}{a}} \\ & = \dfrac{\pi}{6} \left\{ \dfrac{\left( \sqrt{3} -1 \right)^2}{2} +\dfrac{\left( \sqrt{3} +1 \right)^2}{2} \right\} +2 \log a \\ & = \dfrac{\pi}{6} \cdot 4 +\log a^2 \\ & = \underline{\dfrac{2 \pi}{3} +\log \left( 2 -\sqrt{3} \right)} \end{align}$$