一辺の長さが \(1\) の正四面体 ABCD において, P を辺 AB の中点とし, 点 Q が辺 AC 上を動くとする. このとき, \(\cos \angle \text{PDQ}\) の最大値を求めよ.

【 解 答 】

\(\text{AQ} = t \ ( 0 \leqq t \leqq 1 )\) とおくと, 余弦定理を用いて \[\begin{align} \text{PD} & = \dfrac{\sqrt{3}}{2} , \\ \text{PQ}^2 & = \dfrac{1}{4} +t^2 -2 \cdot \dfrac{1}{2} t \cos 60^{\circ} \\ & = t^2 -\dfrac{t}{2} +\dfrac{1}{4} , \\ \text{QD}^2 & = 1 +t^2 -2 \cdot 1 \cdot t \cos 60^{\circ} \\ & = t^2 -t +1 \end{align}\] したがって \[\begin{align} \cos \angle \text{PDQ} & = \dfrac{\text{PD}^2 +\text{QD}^2 -\text{PQ}^2}{2 \text{PD} \cdot \text{QD}} \\ & = \dfrac{3 +4( t^2 -t +1 ) -( 4t^2 -2t +1 )}{4 \sqrt{3} \sqrt{t^2 -t +1}} \\ & = \dfrac{1}{2 \sqrt{3}} \cdot \underline{\dfrac{3-t}{\sqrt{t^2 -t +1}}} _ {[1]} \end{align}\] \([1] \gt 0\) なので, \(f(t) = \{ [1] \}^2\) とおいて, \(f(t)\) が最大になる場合を考えればよい. \[\begin{align} f'(t) & = \dfrac{2(t-3) ( t^2 -t +1 ) -(t-3)^2 (2t-1)}{( t^2 -t +1 )^2} \\ & = \dfrac{(t-3)(5t-1)}{( t^2 -t +1 )^2} \end{align}\] \(f'(x) = 0\) をとくと \[ t = \dfrac{1}{5} \] なので, \(f(t)\) の増減は下表のようになる. \[ \begin{array}{c|ccccc} t & 0 & \cdots & \dfrac{1}{5} & \cdots & 1 \\ \hline f'(t) & & + & 0 & - & \\ \hline f(t) & & \nearrow & \text{最大} & \searrow & \end{array} \] ここで \[\begin{align} f \left( \dfrac{1}{5} \right) & = \dfrac{\left( 3 -\frac{1}{5} \right)^2}{\frac{1}{25} -\frac{1}{5} +1} \\ & = \dfrac{14^2}{21} = \dfrac{28}{3} \end{align}\] \(\cos \angle \text{PDQ}\) が最大となるのは, \(t = \dfrac{1}{5}\) のときで, 求める最大値は \[ \dfrac{1}{2 \sqrt{3}} \sqrt{f \left( \dfrac{1}{5} \right)} = \underline{\dfrac{\sqrt{7}}{3}} \]